Equazione

[axpgn]

Trovare i valori reali di $x$ che soddisfino la seguente equazione:

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3$



Cordialmente, Alex

[dan952]

La prima soluzione che mi viene in mente, sicuramente ne esiste una più creativa

$(x+1)(x^2+1)(x^3+1)-30x^3=(x^2-3x+1)(x^4+4x^3+12x^2+4x+1)$

Il primo fattore della scomposizione possiede due radici

$x_{1,2}=3/2 \pm \sqrt{5}/2$

mentre il secondo fattore non ha radici reali infatti

$x^4+4x^3+12x^2+4x+1=x^2(x+2)^2+(2x+1)^2+4x^2$

essendo somma di tre termini al quadrato nei reali si annulla se e solo se si annullano tutti e tre i termini ma si vede subito che questo non vale per $x \in \mathbb{R}$.

[axpgn]

Questa non è un'uguaglianza

"dan95":$x^4+4x^3+12x^2+4x+1=x^2(x^2+2)^2+(2x^2+1)+4x^2$

Mi sfugge qualcosa?

Cordialmente, Alex

[dan952]

La stanchezza... correggo subito...

[dan952]

Ho il sospetto che una soluzione più creativa abbia a che fare con le

Medie

[axpgn]

Invece io la trovo bella

Però devi dirmi come hai trovato quella anzi quelle scomposizioni: d'istinto o dopo tribolazioni?

La soluzione dell'autore è certamente creativa ma decisamente più complicata

Dato che lo zero non è una soluzione, divide tutto per $x^3$ e pone $z=x+1/x$, trasformandola in $z^3+z^2-2z+30=0$ che ha come unica soluzione $z=3$ e poi da qui il resto ...

Cordialmente, Alex

[dan952]

Non ho l età per fare calcoli... Ci pensa Wolfram e io ci metto la componente "umana".

[axpgn]

[Mephlip]

@axpgn, posso chiederti autore e nome del testo su cui hai trovato questo problema, per favore?

[axpgn]

Eh, a ricordarsi!
Quando leggo, mi segno quello che ritengo interessante e poi metto via però non annoto tutto, sarebbe un pochino pesante
Sicuramente anche questo proveniva da gare anzi per la preparazione a gare e mi pare fosse canadese, altro non ricordo, mi spiace


Cordialmente, Alex