Ellisse e circonferenza

[donald_zeka]

Dimostrare che il luogo geometrico dei punti che vedono l'ellisse sotto un angolo di $pi/2$ è una circnferenza

[donald_zeka]

Nessuno ci prova?

[Erasmus_First]

Mi piace!

"Vulplasir":Nessuno ci prova?

Analiticamente la dimostrazione è facile (ma noiosa!).

@

La dimostrazione richiesta equivale a dimostrare che due tangenti $t_1$ e $t_2$ all'ellisse $Γ$ di diametro maggiore $2a$ e diametro minore $2b$ ortogonali una all'altra si intersecano a distanza $sqrt(a^2+b^2)$ dal centro dell'ellisse.

Traccia:
• Interseco l'ellisse di eq, $(bx)^2 + (ay)^2 - (ab)^2 = 0$ con la generica retta $t_1$ di eq. $y = mx +q$.
• Cerco $q$ tale che la retta sia tangente.
[Ossia: eliminato $y$ (oppure $x$), ho una equazione di 2° grado in $x$ (oppure in $y$). Annullo il discriminante e risolvo rispetto a $q$ ].
[Mi viene $q = sqrt((ma)^2 + b^2)$ ].
• Metto il q trovato nell'eq. di $t_1$.
• Scrivo l'equazione di $t_2$ semplicemente sostituendo $m$ con $-1/m$ nell'eq. di $t_1$.
• Faccio sistema delle trovate eq. di $t_1$ e $t_2$ determinando così l'ntersezione P delle due rette.
• Le coordinate $x_P$ e $y_P$ di questo punto P sono espressioni che contengono $a$, $b$ ed $m$.
Ma se calcolo $sqrt(x_P^2 + y_P^2)$ trovo che $m$ sparisce e risulta $sqrt(x_P^2 + y_P^2) = sqrt(a^2 + b^2)$.
Infatti mi viene:
$x_P = (sqrt(a^2 + (mb)^2) - msqrt((ma)^2 + b^2))/(1 + m^2)$; $y_P = (msqrt(a^2 + (mb)^2) + sqrt((ma)^2 + b^2))/(1 + m^2)$.

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[donald_zeka]

Anch'io bene o male sono riuscito a dimostrarlo in quel modo che alla fine sono solo calcoli noiosi. Mi chiedevo però se ci fosse anche una via geometrica per dimostrarlo ma per adesso non mi è venuto in mente niente. Idee?

[Sk_Anonymous]

http://fabiobonoli.it/wp-content/uploads/2012/04/ellisse.pdf

[donald_zeka]

Sempre la risposta a tutto!

[veciorik]

In sintesi cambio la prospettiva riformulando una tesi alternativa:
(1) dimostro che tutti i rombi inscritti in una ellisse sono circoscritti alla medesima circonferenza;
(2) stiracchiando adeguatamente le tre figure

. l'ellisse esterna diventa la circonferenza, ossia il luogo dei punti di vista della tesi originale,
. i rombi diventano rettangoli perché le diagonali dei rombi sono diametri della suddetta ellisse trasformata in circonferenza,
. la circonferenza interna diventa l'ellisse della tesi originale.
[/list:u:2h16v9dt]

Dettagli:

Tesi riformulata:
le tangenti all'ellisse sono perpendicolari tra loro se formano i cateti di triangoli aventi per ipotenuse dei diametri della circonferenza. Ovvero se le tangenti formano lati contigui di rettangoli aventi per diagonali dei diametri.

Dilatazione delle figure:
Sia $a^2+b^2=1$ per semplificare i calcoli.
Con $X=x/a; Y=y/b$ trasformo l'ellisse interna $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ nella circonferenza $X^2+Y^2=1$ e trasformo la circonferenza esterna $x^2+y^2=1$ nell'ellisse $a^2 X^2+b^2 Y^2=1$.
Così i presunti rettangoli diventano rombi inscritti nella nuova ellisse.
Le diagonali di questi rettangoli, ora rombi, erano i diametri della circonferenza originale.

Dimostrazione (1) che tutti questi rombi sono tangenti alla nuova circonferenza ex ellisse. Ovvero che, ruotando i diametri attorno al centro, resta invariato l'apotema del rombo che coincide con il raggio della circonferenza inscritta.

Primo passo:
Calcolo l'apotema $h$ in funzione delle semidiagonali $d_1 d_2$ dividendo mezza area del rombo per il suo lato.
Poiché $A/2=d_1 d_2$ e $l^2=d_1^2+d_2^2$ ottengo $h=(d_1 d_2)/sqrt(d_1^2+d_2^2)$ quindi $1/h^2=1/d_1^2+1/d_2^2$.
Questa formula inversa semplifica i calcoli seguenti.

Secondo passo:
Rappresento l'ellisse $a^2 X^2+b^2 Y^2=1$ in coordinate polari $a^2 \rho^2 cos^2\theta+b^2 \rho^2 sin^2\theta=1$ cioè $1/\rho^2= a^2 cos^2\theta + b^2 sin^2\theta$.
Le semidiagonali del rombo sono le distanze dal centro delle intersezioni tra l'ellisse e due diametri perpendicolari tra loro, cioè con $\theta_2=\theta_1+\pi/2$, quindi $cos\theta_2=-sin\theta_1$ e $sin\theta_2=cos\theta_1$.

Sostituendo $1/h^2=1/d_1^2+1/d_2^2=1/(\rho^2(\theta_1))+1/(\rho^2(\theta_2))=a^2 cos^2\theta + b^2 sin^2\theta + a^2 sin^2\theta + b^2 cos^2\theta=a^2+b^2$.

Concludendo:
$1/h^2=a^2+b^2=1$ mostra che tutti i rombi inscritti nell'ellisse $a^2 X^2+b^2 Y^2=1$ hanno lo stesso apotema cioè sono tutti tangenti ovvero circoscritti alla circonferenza di raggio $r=h=1/sqrt(a^2+b^2)=1$.