Due punti ed un compasso!
Abbiamo un foglio ed un compasso di apertura 1cm
bisogna trovare 2 punti su questo foglio tale che la loro distanza sia 9 cm, usando appunto solo il compasso, e se si apre a proprio piacere il compasso non si può sapere qual'è la sua nuova apertura.
Io ho proceduto nel modo di questa immagine ma alla fine devo tracciare una circonferenza di raggio 1/2 e il metodo utilizzato è pratico e intuitivo ma non matematico, quindi non andrebbe bene in linea di principio..
http://sep.imghost.us/Owki.png
Qualcuno sa come arrivare ad avere il compasso di apertura 1/2? oppure ha qualche metodo alternativo di costruzione?
bisogna trovare 2 punti su questo foglio tale che la loro distanza sia 9 cm, usando appunto solo il compasso, e se si apre a proprio piacere il compasso non si può sapere qual'è la sua nuova apertura.
Io ho proceduto nel modo di questa immagine ma alla fine devo tracciare una circonferenza di raggio 1/2 e il metodo utilizzato è pratico e intuitivo ma non matematico, quindi non andrebbe bene in linea di principio..
http://sep.imghost.us/Owki.png
Qualcuno sa come arrivare ad avere il compasso di apertura 1/2? oppure ha qualche metodo alternativo di costruzione?
Risposte
Potresti spiegare come effettui la tua costruzione? Non è facile dedurla dal disegno (hai detto pratico e intuitivo ma dal disegno sembra proprio complicato!)
Al momento non mi è venuto in mente nessun modo per ottenere apertura 1/2.
Comunque mi è subito venuta in mente un'altra soluzione che secondo me è più facile e intuitiva che permette in generale, dato un punto e il compasso con apertura 1, di individuare un punto a qualsiasi distanza intera dal punto di partenza.
Mi è anche venuto in mente un modo veloce per "triplicare l'apertura del compasso". Quindi basterebbe applicare questa cosa per due volte in modo da ottenere l'apertura da 9.
Poi che vuol dire che un metodo "non è matematico"?
Al momento non mi è venuto in mente nessun modo per ottenere apertura 1/2.
Comunque mi è subito venuta in mente un'altra soluzione che secondo me è più facile e intuitiva che permette in generale, dato un punto e il compasso con apertura 1, di individuare un punto a qualsiasi distanza intera dal punto di partenza.
Mi è anche venuto in mente un modo veloce per "triplicare l'apertura del compasso". Quindi basterebbe applicare questa cosa per due volte in modo da ottenere l'apertura da 9.
Poi che vuol dire che un metodo "non è matematico"?
Ho trovato un metodo con 6 circonferenze 
Comunque, si, quello è stato il mio primo tentativo ed è un pò complicato da spiegare..comunque se osservi la circonferenza più piccola di tutte, quella di color marrone chiaro, il centro di essa è il centro della circonferenza più grande di tutte di r= 4,5; ma quella circonferenza piccola per ottenerla ho puntato la punta della matita del compasso nel punto di intersezione tra la blu a sinistra e la gialla e diminuito l'ampiezza del compasso finchè non diventava tangente la circonferenza ottenuta...ovviamente questo non è un metodo rigoroso...e non va bene
qual'è il metodo che hai trovato?
Comunque, si, quello è stato il mio primo tentativo ed è un pò complicato da spiegare..comunque se osservi la circonferenza più piccola di tutte, quella di color marrone chiaro, il centro di essa è il centro della circonferenza più grande di tutte di r= 4,5; ma quella circonferenza piccola per ottenerla ho puntato la punta della matita del compasso nel punto di intersezione tra la blu a sinistra e la gialla e diminuito l'ampiezza del compasso finchè non diventava tangente la circonferenza ottenuta...ovviamente questo non è un metodo rigoroso...e non va bene
qual'è il metodo che hai trovato?
Allora, il primo che mi è venuto in mente è stato quello di costruire una "griglia di triangoli equilateri di lato 1". Non ti dico il procedimento nel dettaglio perché è veramente facile, più veloce a a farsi che a dirsi. Con questo metodo si costruiscono dei triangoli equilateri sempre più grandi (o meglio se ne individuano i vertici) fino ad arrivare alla lunghezza di lato desiderata (9).
Ha il vantaggio di poter usare sempre la stessa apertura del compasso (1) senza mai variarla. Però ha lo svantaggio di aver bisogno di MOLTE circonferenze.
L'altro modo si basa sulla "moltiplicazione per $\sqrt{3}$ dell'ampiezza del compasso", che si può eseguire così:
prendo un punto, faccio la circonferenza che ha per centro quel punto. Prendo un punto su questa circonferenza, e ne disegno un'altra che ha per centro quel punto. Ora la distanza tra i due punti di intersezione tra le due circonferenze disegnate è uguale a $r\sqrt{3}$, dove $r$ è l'ampiezza del compasso. Quindi modifico l'ampiezza che da $r$ diventa $r\sqrt{3}$.
Facendo questa cosa per 4 volte, alla fine si ottiene ampiezza del compasso = 9.
Così si usano molte meno circonferenze, cioè 8.
Come hai fatto a usarne solo 6?
Ha il vantaggio di poter usare sempre la stessa apertura del compasso (1) senza mai variarla. Però ha lo svantaggio di aver bisogno di MOLTE circonferenze.
L'altro modo si basa sulla "moltiplicazione per $\sqrt{3}$ dell'ampiezza del compasso", che si può eseguire così:
prendo un punto, faccio la circonferenza che ha per centro quel punto. Prendo un punto su questa circonferenza, e ne disegno un'altra che ha per centro quel punto. Ora la distanza tra i due punti di intersezione tra le due circonferenze disegnate è uguale a $r\sqrt{3}$, dove $r$ è l'ampiezza del compasso. Quindi modifico l'ampiezza che da $r$ diventa $r\sqrt{3}$.
Facendo questa cosa per 4 volte, alla fine si ottiene ampiezza del compasso = 9.
Così si usano molte meno circonferenze, cioè 8.
Come hai fatto a usarne solo 6?
Più o meno il metodo è simile a quello usato da te con 8 circonferenze
Guarda l'immagine
http://sep.imghost.us/PFWe.jpg
Le due circonferenze nere piccole nel mezzo hanno r= 1 e ognuna passa per il centro dell'altra
Adesso centro la punta del compasso nel punto di intersezione tra le due nere e con apertura rad(3) traccio la circonferenza rossa, La rossa incontrerà le nere in 2 punti che sono diametralmente opposti.
Da ognuno di questi due punti, centro il compasso con apertura r=3 e traccio le due circonferenze verdi, e nel loro punto di intersezione in basso centro il compasso con apertura r= 3rad(3) e traccio la circonferenza blu che incontrerà le verdi in due punti diametralmente opposti..a distanza 9
Guarda l'immagine
http://sep.imghost.us/PFWe.jpg
Le due circonferenze nere piccole nel mezzo hanno r= 1 e ognuna passa per il centro dell'altra
Adesso centro la punta del compasso nel punto di intersezione tra le due nere e con apertura rad(3) traccio la circonferenza rossa, La rossa incontrerà le nere in 2 punti che sono diametralmente opposti.
Da ognuno di questi due punti, centro il compasso con apertura r=3 e traccio le due circonferenze verdi, e nel loro punto di intersezione in basso centro il compasso con apertura r= 3rad(3) e traccio la circonferenza blu che incontrerà le verdi in due punti diametralmente opposti..a distanza 9
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