Divisione

[axpgn]

Per quali coppie di numeri naturali $a$ e $b$, il loro prodotto $ab$ divide esattamente $a^2+b^2+1$ ?




Cordialmente, Alex

[giammaria2]

@totissimus: vero, ed è una bella aggiunta.

[giammaria2]

Ho trovato una formula chiusa, ma non chiedetemi il ragionamento fatto, che è decisamente tortuoso. La formula può essere scritta anche in altro modo, ma l'ho lasciata come l'ho trovata e mi sembra la forma più semplice.
Resta il problema dell'unicità.

Come già detto, $a,b$ sono due termini successivi della sequenza delle $c_n$, che hanno formula di ricorrenza $c_(n+1)+c_(n-1)=3c_n$, con valori iniziali $c_1=c_2=1$. Partendo da queste premesse, trovo che
$c_n=f_n(x)=(1+x^(2n-3))/(x^(n-1)(x+1))$
Correggo: $c_n=f_n(x)=(1+x^(2n-3))/(x^(n-2)(x+1))$; anche i calcoli successivi vanno modificati in conseguenza. Fine della correzione
in cui $x$ è una qualsiasi delle soluzioni di $x^2+1=3x$, cioè $x=(3+-sqrt 5)/2$.
E' facile verificare che dalla formula deriva $c_1=c_2=1$; il controllo della ricorrenza richiede invece un piccolo artificio e quindi ne scrivo i punti salienti, sostituendo con puntini i passaggi banali.

$c_(n+1)+c_(n-1)=(1+x^(2n-1))/(x^(n)(x+1))+(1+x^(2n-5))/(x^(n-2)(x+1))=...=((x^2+1)(1+x^(2n-3)))/(x^n(x+1))$

Valeva l'equazione $x^2+1=3x$, quindi continuo con

$c_(n+1)+c_(n-1)=(3x(1+x^(2n-3)))/(x^n(x+1))=3(1+x^(2n-3))/(x^(n-1)(x+1))=3c_n$

Ho detto che $x$ è una qualsiasi delle soluzioni dell'equazione in $x$; si può anche pensare di usarle entrambe e scrivere diversamente la formula, ad esempio ponendo
$c_n=(f_n(x_1)+f_n(x_2))/2$

EDIT: lavorando sull'ultima formula ho trovato che, salvo errori, si ha
$c_n=1/10[x_1^(n-3)(x_1+1)^2+x_2^(n-3)(x_2+1)^2]$
Non è una brutta formula

[axpgn]

@giammaria

Premesso che non ho approfondito più di tanto, sei sicuro che funzioni?
Ho provato ad usare l'ultima formula ma non mi tornano i numeri (può darsi semplicemente che non ci abbia capito niente ); potresti fornire qualche esempio?

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Hai ragione. Anche a me non tornano i calcoli per la formula dell'EDIT: era l'unica che non avevo controllato, e per questo ho scritto "salvo errori".
Però per ora non ne ripeto i calcoli, dato che sto facendo molti errori di distrazione; proverò domani, a mente fresca.

[giammaria2]

Avevo sbagliato nel trascrivere una formula (e l'ho anche postata, ma ora ho indicato la correzione) e quindi sono sbagliati i calcoli successivi, basati su questa. Metto ora la formula giusta, controllata per i primi tre valori di $n$.

$c_n=1/5[x_1^(n-2)(1+x_1)+x_2^(n-2)(1+x_2)]$

[axpgn]

Si, questa è corretta, ne ho calcolati un bel po' ...


Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

"totissimus":[quote="giammaria"]Considerando l'equazione a^2+b^2+1=kab, riesco a dimostrare che k deve essere divisibile per 3

Più esttamente un multiplo dispari di 3.[/quote]

"giammaria":@totissimus: vero, ed è una bella aggiunta.

Ma ... seppur non deduttivamente bensì induttivamente (ossa spermenalmene con la "forza bruta"), già Super Squirrel aveva trovato che se (a, b) è una [qualunque] soluzione del quiz, allora
(a^2 + b^2 + 1) : (ab) = 3
Cioè: il vostro k – ovvero il rapporto [intero] (a^2 + b^2 + 1)/(ab) – è sempre [e soltanto] 3.
–––––––––––––––––––––––––
Tutti conosciamo la successione di Fibonacci {F[size=85]n[/size]} definibile per ricorrenza come segue:
F[size=85]0[/size] = F[size=85]1[/size] = 1;
Per ogni n naturale F[size=85]n+2[/size] = F[size=85]n[/size] + F[size=85]n+1[/size]

Questa successione – come ogni successione "linearmante dipendente" (di qualunque ordine) – si può estendere a valori negativi dell'indice. E' connvenzione chiamare "seguenza" una funzione di dominio l'insieme Z degli interi [relativi].
Occhio: non si traduca l'inglese "sequence" con sequenza! Infatti "sequence" significa "insieme ordinatto" di numeri, ossia – propriamente – NON "sequenza" BENSI' "sfilza".
Per esempio l'insieme ordinato dei numeri primi minori di 20, ossia la seguente "sfilza":
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
in inglese è "the sequence of prime numbers less then 20".
Per "sequenza di Fibonacci" intendo l'estensione di {Fn} da N a Z, cioè dagli indici naturali agli indici anche negativi. La definizione per ricorrenza di questa sequenza può essere:
F[size=85]0[/size] = F[size=85]1[/size] = 1;
([size=150]∀[/size]n ∈ Z F[size=85]n[/size] = F[size=85]n–1[/size] + F[size=85]n–2[/size]) ⇔ ([size=150]∀[/size]n ∈ Z F[size=85]n-1[/size] = F[size=85]n+1[/size] – F[size=85]n[/size]).
Un tratto di questa sequenza (a cavallo dello "zero") è:

 n  ––> ... –9  –8  –7  –6 –5  –4 –3 –2 –1  0  1  2  3  4  5  6   7   8   9  10 ...
Fn  ––> ... 34 -21  13  –8  5  –3  2 –1  1  0  1  1  2  3  5  8  13  21  34  55 ...

Chiamo ora D(n) la sequenza di iunteri costituita dagli elementi di [Fn} di indici dispari [2n+1, per ogni n appartenente a Z], cioè:

       n   ––> ... -5    -4   -3   -2   -1    0     1    2     3     4     5     6     7   ...
F2n+1 ≡ Dn ––> ... 89,   34,   13,   5,   2,   1,   1,    2,   5,   13,   34,   89,   233, ...

Questa sequenza è definibile per ricorrebza come segue:
D[size=85]0[/size] = 1; D[size=85]1[/size] = 2;
([size=150]∀[/size]n ∈ Z Dn+1 = 3Dn – Dn–1) ⇔ (∀n ∈ Z Dn-1 = 3Dn – Dn+1).
Da questa legge di ricorrenza si deduce che {Dn} altro non è che la funzione D(n) di dominio Z così definita;
∀n ∈ Z D(n) = [√(5)/5]·{[(√(5)+1)/2]^(2n–1) + [(√(5)–1)/2]^(2n–1)}
Ripeto scrivendo la formula precedente "non in riga" (sperando che la lettura risulti più chiara

               √(5)   [√(5 +1]^(2n–1) + [√(5 –1]^(2n–1)
 ∀n ∈ Z D(n) = –––– · –––––––––––––––––––––––––––––––––––.
                5                  2^(2n–1)

Orbene: tutte le cppie di termini consecutivi di questa sequenza e solo esse sno soluzioni del qujz.

Insmma: la soluzione generale del quiz è

∀n ∈ Z: 
    √(5)   [√(5 +1]^(2n–1) + [√(5 –1]^(2n–1)       
a = –––– · ––––––––––––––––––––––––––––––––––– ; 
     5                  2^(2n–1)                                         

    √(5)   [√(5 +1]^(2n–1) + [√(5 –1]^(2n+1)       
b = –––– · ––––––––––––––––––––––––––––––––––– . 
     5                  2^(2n+1)     

________

[axpgn]

E bravo, Erasmo!

Però, siccome sono un rompiscatole, aggiungo che ...
1) Non hai usato lo spoiler
2) In italiano sequenza implica l'ordine (vedi per esempio Zingarelli '94)
3) L'unicità non è ancora stata dimostrata. Super Squirrel ha trovato una sequenza di numeri che soddisfa le condizioni mentre giammaria ha dimostrato che il quoziente della divisione è $k=3$ ma questo non esclude, a priori, che esistano coppie, al di fuori di quelle trovate da Super Squirrel e da te che soddisfino tutti i requisiti.

Detto ciò, ecco la mia versione ...

Il problema non cambia scambiando $a$ con $b$ nè assumendoli negativi perciò assumiamo che sia $a>=b>0$.

Le coppie risolutive sono $(a,b)=(F_(2n+1),F_(2n-1))$ per $n$ non negativo, dove $F_n$ denota l'ennesimo numero di Fibonacci con l'aggiunta di $F_(-1)=1$ e $F_0=0$ ovvero le soluzioni sono le coppie di numeri di Fibonacci di indice dispari consecutivi.

Dall'identità $F_(2n-1)F_(2n+1)=F_(2n)^2+1$ si ha

$F_(2n+1)^2+F_(2n-1)^2-2F_(2n+1)F_(2n-1)=(F_(2n+1)-F_(2n-1))^2=F_(2n)^2=F_(2n+1)F_(2n-1)-1$

Ne consegue che $F_(2n+1)^2+F_(2n-1)^2+1=3F_(2n+1)F_(2n-1)$ ovvero $(F_(2n+1),F_(2n-1))$ è una soluzione.

Adesso proviamo a dimostrare che queste sono tutte le soluzioni.

Se $a=b$ allora $a^2|(2a^2+1$ la cui unica soluzione è $a=b=1$; questa soluzione è la stessa di quelle di prima con $n=0$ (Importante!).

Assumiamo quindi che sia $a>b$ e supponiamo che sia $a^2+b^2+1=kab$.
Poniamo $a'=b$ e $b'=kb-a=(b^2+1)/a$.
Otteniamo $(a')^2+(b')^2+1=kb(kb-a)=ka'b'$ e quindi $(a',b')$ è una soluzione.

Dimostriamo ora che è $0<=b'<=a' Sia $a'$ che $b'$ sono positivi; inoltre $b'=(b^2+1)/a Dato che $b'$ è un intero, abbiamo $b'<=b=a'$ e quindi $a'=b Perciò dimostrato che è $0<=b'<=a'
Avendo già visto precedentemente (in questa dimostrazione) che avevamo $k=3$ ne consegue che $a=kb-b'=3F_(2n+1)+F_(2n-1)=2F_(2n+1)+F_(2n)=F_(2n+1)+F_(2n+2)=F_(2n+3)$.
Quindi $(a,b)=(F_(2n+3)F_(2n+2)$.


Stasera (o chissà quando ) posto un extra ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Ecco l'extra ...


a) Per quali valori naturali di $k$ questa equazione è possibile (dove $x, y, z$ sono naturali)?

$x^2+y^2+z^2=kxyz$


b) Trovare tutte le terne di interi positivi minori di mille la cui somma dei quadrati è divisibile per il loro prodotto.



Cordialmente, Alex