Divisibilità

[Pachisi]

Dimostrare che, per ogni intero positivo $n$, $n^2+11n+2$ non è divisibile per $12769$.

[orsoulx]

Dovrebbe essere

\( (2n+11)^2-113=4q \cdot 113^2 \) con q intero,

che è impossibile.
Ciao

[Pachisi]

Bello, non ci avevo pensato.
Io l'ho fatto in modo diverso .

[robbstark1]

Un'altra soluzione si ottiene sommando 26 da ambo i lati:
$(n+4)(n+7) = 12795$
12795 è multiplo di 3 ma non di 9, mentre i numeri a sinistra distano esattamente 3, quindi o sono entrambi multipli di 3 o non lo sono.

[Erasmus_First]

"robbstark":

Un'altra soluzione si ottiene sommando 26 da ambo i lati:
$(n+4)(n+7) = 12795$
12795 è multiplo di 3 ma non di 9, mentre i numeri a sinistra distano esattamente 3, quindi o sono entrambi multipli di 3 o non lo sono.

Torno indietro sottraendo 26 ad ambo i membri della tua ... "uguaglianza sbagliata" e trovo
n^2 + 11n + 2 = 12769.
Ma ... c'è da provare che n^2 + 11n + 2 = k·12769 è falsa non solo per k = 1, bensì per OGNI k intero.
_______

[Pachisi]

Credo che si potrebbe completare la soluzione di robbstark usando l'induzione.

[robbstark1]

Aggiungo che alla richiesta originale si può ancora rispondere più semplicemente osservando che il primo membro è pari e il secondo è dispari.

Per quanto riguarda la richiesta con $k$ generico, si può osservare che $k$ deve essere pari, ma continuare a ragionare sulla divisibilità mi sembra una strada complicata.

Se invece scriviamo semplicemente
$n^2 + 11n + 2 - k*113^2 = 0$
e proviamo a risolvere l'equazione di secondo grado, il calcolo del $\Delta$ porta a:
$\Delta = 121 - 4(2-k*113^2) = 113 + 4k*113^2 = 113(1+4k*113)$
che evidentemente non può essere un quadrato perfetto, essendo multiplo di 113, ma non del suo quadrato.

[Pachisi]

Bella soluzione!

Posto la mia in spoiler.

Notiamo che $(n+62)^2=n^2+11n+2+113(n+34)$. Dunque, $n^2+11n+2=(n+62)^2-113(n+34)$. Ora, se il primo membro fosse divisibile per $113^2$, allora lo sarebbe anche per $113$. Quindi dovrebbe essere $(n+62)^2$ divisibile per $113$ e, essendo $113$ primo, anche $(n+62)$. Da questo, segue che $(n+62)^2$ dovrebbe essere divisibile per $113^2$ e quindi anche $113(n+34)$. Allora, $n+34$ dovrebbe essere divisibile per $113$. Pero`, nell'ipotesi che $(n+62)$ sia divisibile per $113$, non lo puo` essere anche $(n+34)$.

Spero che la soluzione sia comprensibile.

[robbstark1]

Bellissima soluzione anche la tua! (Certo non era facile da pensare)

[orsoulx]

Mi pare che le tre soluzioni siano di pari livello. Non ho, invece, capito questa affermazione

"Pachisi":Credo che si potrebbe completare la soluzione di robbstark usando l'induzione.

Me la spieghi?
Ciao e grazie

[Pachisi]

Credevo di riuscire a dimostrare che $n^2+11n+2=113^2k$ fosse falsa con induzione su $k$. Per ora, pero`, non ci sono riuscito...