Divisibile

[axpgn]

Il numero [size=150]$3^105+4^105$[/size] è divisibile per $13, 49, 181$ e $379$ ma non è divisibile né per $5$ né per $11$.
Vero?

Cordialmente, Alex

[superpippone]

Non è divisibile per 5, perchè $3^105$ finisce per 3, e $4^105$ finisce per 4.
$3+4=7$ e 7 non è divisibile per 5.

[@melia]

$3^105+4^105$ è divisibile per $3+4$, $3^3+4^3$, $3^5+4^5$, $3^7+4^7$
$3+4= 7$
$3^3+4^3= 91=7*13$,
$3^5+4^5= 1267=7*181$,
$3^7+4^7=18571=7^2*379$
Per la non divisibilità per 5 mi rifaccio a quanto detto da superpippone, mi manca la non divisibilità per 11

[axpgn]

Bene ne manca solo uno …

[Erasmus_First]

$3^105$ mod 11 = [(243 mod 11)·$(81 mod 11)^25$] mod 11 = $4^25$ mod 11 = (64 mod 11)·$(16 mod 11)^11$ =
= $(9·5^11)$ mod 11 = ([45 mod 11)·$(25 mod 11)^5$] mod 11 = $3^5 mod 11$ = 1.
$4^105 mod 11$ = $[(1024 mod 11)^21] mod 11 = 1^21 = 1$.
Ergo: $(3^105 + 4^105) mod 11 = 1 + 1 = 2 ≠ 0$ C. D. D.

________


–––

[axpgn]

Bene ma lo riscrivo un po' meglio …

$3^5=243-=1\text( (mod 11))$ da cui $3^105=(3^5)^21-=1^21=1\text( (mod 11))$

$4^3=64-=-2\text( (mod 11))$ da cui $4^15=(4^3)^5-=(-2)^5=-32=1\text( (mod 11))$, perciò $4^105=(4^15)^7-=1^7=1\text( (mod 11))$

Concludendo $3^105+4^105 -= 1+1 =2 \text( (mod 11))$

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

La non divisibilità per $ 11 $ si può provare anche senza utilizzare il $ 105 $, esponente comune delle potenze. Basta dimostrare che $ 3^n + 4^m $ non è divisibile per $11 $ per qualsiasi coppia di valori, naturali e non necessariamente coincidenti, di $n$ ed $m$.

Nell'aritmetica delle classi di resto modulo $ 11 $ le successive potenze di $ 3 $ sono
$ 3^1=3, 3^2=3 cdot 3=9, 3^3=9 cdot 3=5, 3^4=5 cdot 3=4, 3^5=4 cdot 3=1=3^0 $. Fra i valori trovati non compare $10=-1 $, questo è sufficiente per affermare $ 3^n+3^m $ non risulterà mai divisibile per $ 11 $. Compare, invece, $ 4 $ e quindi ogni potenza di $ 4 $ ( ed anche di $ 1, 5, 9 $) sarà anche potenza di $ 3 $. rendendo assurda la divisibilità per $11$ dell'espressione proposta

.
L'analogo ragionamento non è invece dirimente nel caso della divisibilità per $ 5 $, perché $ 3^2=4=-1 " " (mod 5) $.
Ciao

[axpgn]

@orsoulx

Un dubbio ...

Perché ti basta "non c'è $10=-1$" per concludere? Non si dovrebbe aggiungere "non c'è $8=-3$, non c'è $2=-9$, ecc."?

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex:

Le possibilità sono o tutti o nessuno e, se si arriva ad $ 1 $ senza incontrare il $ -1 $, nessuno dei risultati si potrà accoppiare con il proprio opposto; viceversa se si arriva a $-1$ tutte le potenze successive forniranno, in ordine, gli opposti delle precedenti.
Da $ 3^a=-3^b $ segue $ 3^(a+k)=-3^(b+k) $.
Nel caso esistano divisori dello zero ( $11$ è un numero primo) non è detto si arrivi ad $ 1 $, le cose si complicano, ma di pochissimo.

Ciao

[axpgn]

Ok, questa l'ho capita … un'ultima cosa …

"orsoulx":Le possibilità sono o tutti o nessuno …

Perché è un numero primo?

"orsoulx":Nel caso esistano divisori dello zero … le cose si complicano, ma di pochissimo.

Cosa succede in tal caso?

Lo so, dovrei studiare aritmetica modulare prima o poi … ... (sarà meglio prima )

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex:

Perdona il ritardo: non disponevo di una connessione.
Che sia un numero primo permette di procedere più speditamente, perché garantisce che, prima o poi, incontreremo un risultato uguale a $ 1 $. Se prima che questo accada ci imbattiamo in $-1$ non si riesce a terminare la dimostrazione.
Nel caso sia un numero composto è comunque garantita la ripetizione di un valore già incontrato : le classi di resto sono in numero finito. L'assenza del suo opposto sarà la condizione necessaria per poter procedere nella dimostrazione.

Ciao

[axpgn]

Ok, grazie

[orsoulx]

Dovere!