Disuguaglianza Fattoriale

[Pachisi]

Siano $m$ e $n$ interi positivi. Dimostrare che \[ \frac{(m+n)!}{(m+n)^{m+n}}<\frac{m!}{m^m}\frac{n!}{n^n}\ \]

[kobeilprofeta]

Equivale a $(m+n)! Ho $m!*n! (1+n/m)^m*(1+m/n)^n>m!*n!=frac{m!*(m+1)*...*(m+n)*n!}{(m+1)*...*(m+n)}=frac{n!}{(m+1)*...*(m+n)}*(m+n)!$

[Pachisi]

Non è che puoi postare la soluzione un'altra volta, visto che il computer non me la visualizza? Grazie.

[kobeilprofeta]

Fissato M, chiamo M(n) la tua disugualglianza.
n=1: $frac{(m+1)!}{(m+1)^{m+1}}=frac{m!}{(m+1)^m}=frac{m!}{m^m}*frac{m^m}{(m+1)^m}=frac{m!}{m^m}*(1-1/(m+1))^m M(n)=>M(n+1): $frac{(m+n)!}{(m+n)^(m+n)} debbo dimostrare che $frac{(m+n+1)*(m+n)^(m+n)*(n+1)^(n+1)}{(m+n+1)^(m+n+1)*n^n*(n+1)}<1$
la riscrivo come $frac{(n+1)^n*(m+n)^(m+n)}{(m+n+1)^(m+n)*n^n}= (frac{n+1}{n})^n*(frac{m+n}{m+n+1})^n*(frac{m+n}{m+n+1})^m$

[Pachisi]

Dimmi quel che vuoi, ma la tua dimostrazione non l'ho capita.

[Erasmus_First]

Per piccoli valori di m ed n la disuguaglianza si verifica direttamente.
In partricolare, per 2 ≤ m + n ≤ 5 si hanno i casi seguenti.

m = n = 1
$1/2 < 1$;

m = 1; n = 2
$2/9 < 1/2$;

m = 1; n = 3
$3/32 < 2/9$;

m = n = 2
$3/32 < 1/4$;

m = 1; n = 4
$24/625 < 3/32$;

m = 2; n = 3
$24/625 < 1/9$.

Per valori di n ed m per cui m+n ≥ 6, basta approssimare i fattoriali con la "formula di Stirling", cioè con la funzione:
$St(x) = x^x e^(-x) sqrt(2πx)$
Com'è noto, la funzione St(n) approssima n! sempre per difetto, ma tanto meglio quanto maggiore è n.
[ Il rapporto $(St(n))/(n!)$ tende ad 1 al tendere di n all'infinito. ]

Posto s = m+n, a parità di s il minimo di $(m!)/m^m · (n!)/n^n$ si ha per un addendo di s uguale ad 1, e allora vale
$((s-1)!)/(s-1)^(s-1)$.

Per n = 5 e per n = 6 si ha in particolare:
$(St(5))/(5!) ≈ 0,9835$;
$(St(6))/(6!) ≈ 0,9862$.

Si osservi che l'errore di St(n) rispetto ad n! è inferiore al 2%; ma soprattutto si noti che la differenza tra l'errore per n = 6 e quello per n = 5 è già inferiore al 3‰

Approssimando dunque i fattoriali con la "formula di Stirling", la disuguaglianza diventa (nel caso più sfavorevole):
$e^(-s) sqrt(2πs) < e^(s-1) sqrt(2π(s-1)) = [e^(-s) sqrt(2πs)]·e sqrt(1-1/s)$
ossia
$1 < e sqrt(1-1/s)$,
disuguaglianza verificata ... "abbondantemente" per s ≥ 6 dato che allora
$e sqrt(1-1/s) ≥ e sqrt(5/6) ≈ 2,48$

–––

[totissimus]

Dalla formula del biomio di newton si ha:

\(\left(m+n\right)^{m+n}>\binom{m+n}{m}m^{m}n^{n}\)

\(\left(m+n\right)^{m+n}>\frac{\left(m+n\right)!}{m!n!}m^{m}n^{n}\)

da cui segue la disuguaglianza richiesta

[Pachisi]

Bravi entrambi!
@Erasmus_First, spero di aver capito
@totissimus, la mia soluzione è identica