Disuguaglianza

[dan952]

Dimostrare che

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} \sqrt{|x_i-x_j|} \leq \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} \sqrt{|x_i+x_j|}$$

vale per ogni numero reale $x_1, x_2 \cdots, x_n$.

[@melia]

Credo di non aver capito il quesito.
Poiché $x_i$ e $x_j$ sono numeri reali qualsiasi, la scrittura $|x_i-x_j|$ non può essere considerata una differenza, ma la somma tra $x_i$ e l'opposto di $x_j$, cioè $|x_i+(-x_j)|=|x_i+y_j|$ dove $y_j= -x_j$.

[dan952]

@melia
Credo di non aver capito cosa non hai capito.
Si certamente quello che dici è vero ma non capisco che intendi con "non è una differenza" .

[@melia]

Sono due somme. Possono essere scambiate una con l’altra.

[dan952]

@melia

Nel membro di sinistra i termini con lo stesso indice vengono eliminati mentre a destra questo non succede.

[@melia]

Non avevo capito. Adesso ci sono. Se $n<=i $ e $n<=j$ le $x_n$ sono uguali.

[dan952]

Prova con $n=2$, per esempio prendiamo $x_1=3$ e $x_2=-2$ e verifica la disuguaglianza.

[giammaria2]

La mia soluzione mi piace poco, ma direi che è meglio di niente.

Fissati due qualsiasi valori $h,k$ degli indici, dimostro che la diseguaglianza è vera per gli addendi che contengono solo quegli indici; voglio cioè dimostrare che si ha

$sqrt(|x_h-x_k|)+sqrt(|x_k-x_h|)+sqrt(|x_h-x_h|)+sqrt(|x_k-x_k|)<=$
$" "" "" "" "<=sqrt(|x_h+x_k|)+sqrt(|x_k+x_h|)+sqrt(|x_h+x_h|)+sqrt(|x_k+x_k|)$

$2sqrt(|x_h-x_k|)<=2sqrt(|x_h+x_k|)+sqrt(|2x_h|)+sqrt(|2x_k|)$

$sqrt(2|x_h-x_k|)<=sqrt(2|x_h+x_k|)+sqrt(|x_h|)+sqrt(|x_k|):$

La diseguaglianza è certo vera se le due $x$ hanno lo stesso segno (zero compreso) e resta da dimostrare che lo è anche quando hanno segno opposto. Supponendo $x_h>0; x_k<0$ pongo

${(u=sqrt(|x_h|)=sqrt(x_h)),(v=sqrt(|x_k|)=sqrt(-x_k)):}harr{(x_h=u^2),(x_k=-v^2):}$ (con $u,v>0$)

e la diseguaglianza diventa

$sqrt(2(u^2+v^2))<=sqrt(2|u^2-v^2|)+u+v$

$sqrt((u+v)^2+(u-v)^2)<=sqrt(2(u+v)|u-v|)+u+v$

Divido tutto per $(u+v)$ e pongo $z=(|u-v|)/(u+v)$ (da cui $0<=z<=1$) ottenendo

$sqrt(1+z^2)<=sqrt(2z)+1$

I due membri sono entrambi positivi e posso elevare a quadrato:

$1+z^2<=2z+1+2sqrt(2z)$

$(1-z)^2<=1+2sqrt(2z)$

che è certo vera perché il primo membro è minore di 1 ed il secondo gli è maggiore.

[dan952]

Alternativa per il passaggio finale

$\sqrt{2|x_k-x_h|}=\sqrt{2|x_k+x_h-x_h-x_h|} \leq \sqrt{2|x_k+x_h|}+2\sqrt{|x_h|}$

[giammaria2]

Sarebbe certo una splendida scorciatoia, ma non riesco a capirla: l'uguale che indichi è chiaro, ma poi? E stai lavorando sul solo primo membro o stai scrivendo diversamente la diseguaglianza?

[dan952]

Sia $|x_h| \leq |x_k|$.

$\sqrt{2|x_k+x_h-x_h-x_h|} \leq \sqrt{2(|x_k+x_h|+2|x_h|)} \leq \sqrt{2|x_k+x_h|}+2\sqrt{|x_h|} \leq \sqrt{2|x_k+x_h|}+\sqrt{|x_h|}+\sqrt{|x_k|}$

[dan952]

Una cosa non mi convince fissando due termini $h, k$ e considerando anche gli addendi con lo stesso indice nella parte destra della disuguaglianza

$\sqrt{|x_k+x_h|}+\sqrt{2|x_h|}+\sqrt{2|x_k|}$

I due termini $\sqrt{2|x_h|}+\sqrt{2|x_k|}$ si accumulano ma quelli nella disuguaglianza iniziale compaiono una sola volta nella parte destra.

[giammaria2]

La tua ultima obiezione è giusta, ma l'ho pensato solo in ritardo e stavo per scriverlo adesso.
Per il post precedente, devo pensarci: per ora ho ancora qualche perplessità.

[giammaria2]

Per il primo post di ieri, le mie perplessità erano giustificate: infatti

$2|x_k+x_h-x_h-x_h|=|2(x_k+x_h)-4x_h|<=|2(x_k+x_h)|+|4x_h|$

Resta comunque l'altra obiezione, che invalida il mio ragionamento.