Disequazioni equivalenti
Come si risolve un problema del tipo
Determina per quali valori del parametro reale k le seguenti disequazioni sono equivalenti:
a)$(sqrt(x^2-4) < K$
b) $ ( 5- x^2) (|x| -k -1) > 0 $
Ho provato a trovare le soluzioni di entrambe e ad uguagliarle ma è complicato Grazie
Determina per quali valori del parametro reale k le seguenti disequazioni sono equivalenti:
a)$(sqrt(x^2-4) < K$
b) $ ( 5- x^2) (|x| -k -1) > 0 $
Ho provato a trovare le soluzioni di entrambe e ad uguagliarle ma è complicato Grazie
Risposte
Mi sembra un problema adatto più a Scervelliamoci un po' che a questa sezione: lo sposto là.
La mia soluzione è che è impossibile ma l'ho trovata in modo abbastanza strano e non do garanzie.
La mia soluzione è che è impossibile ma l'ho trovata in modo abbastanza strano e non do garanzie.
Anche a me viene impossibile perché la prima disequazione ammette come soluzioni due intervalli chiusi da una parte e aperti dall'altra, mentre la seconda ammette come soluzioni due intervalli aperti.
Se le disequazioni fossero state
a)$(sqrt(x^2-4) <= k$
b) $ ( 5- x^2) (|x| -k -1) >= 0 $
allora $k=1$ sarebbe stata la risposta.
Se le disequazioni fossero state
a)$(sqrt(x^2-4) <= k$
b) $ ( 5- x^2) (|x| -k -1) >= 0 $
allora $k=1$ sarebbe stata la risposta.
Si hai ragione c'è il segno anche di uguale, ma come hai fatto ?
Le ho risolte entrambe supponendo $k>=0$ perché altrimenti la prima sarebbe stata impossibile, ma solo lei, quindi non ci sarebbe stata equivalenza.
Dalla prima disequazione ottengo $-sqrt(k^2+4)<=x<=2 vv 2<=x<=sqrt(k^2+4)$
Nella seconda devo fare il grafico dei segni con le due disequazioni $-sqrt5<=x<=sqrt5$ e $x<=-(k+1) vv x>=k+1$, a seconda del fatto che $k+1$ sia maggiore o minore di $sqrt5$ ottengo soluzioni diverse, rispettivamente
per $k>sqrt5 -1$ la soluzione è $-(k+1)<=x<=-sqrt5 vv sqrt5<=x<=k+1$, che non può essere equivalente alla precedente perché l'estreme superiore del primo intervallo e quello inferiore del secondo sono diversi.
per $k<=sqrt5 -1$ la soluzione è $-sqrt5<=x<= -(k+1) vv k+1<=x<=sqrt5$, che sarà equivalente alla precedente solo se
$\{(sqrt(k^2+4)=sqrt5),(k+1 = 2),(0<=k<=sqrt5-1):}$, l'unica soluzione del sistema è $k=1$
Dalla prima disequazione ottengo $-sqrt(k^2+4)<=x<=2 vv 2<=x<=sqrt(k^2+4)$
Nella seconda devo fare il grafico dei segni con le due disequazioni $-sqrt5<=x<=sqrt5$ e $x<=-(k+1) vv x>=k+1$, a seconda del fatto che $k+1$ sia maggiore o minore di $sqrt5$ ottengo soluzioni diverse, rispettivamente
per $k>sqrt5 -1$ la soluzione è $-(k+1)<=x<=-sqrt5 vv sqrt5<=x<=k+1$, che non può essere equivalente alla precedente perché l'estreme superiore del primo intervallo e quello inferiore del secondo sono diversi.
per $k<=sqrt5 -1$ la soluzione è $-sqrt5<=x<= -(k+1) vv k+1<=x<=sqrt5$, che sarà equivalente alla precedente solo se
$\{(sqrt(k^2+4)=sqrt5),(k+1 = 2),(0<=k<=sqrt5-1):}$, l'unica soluzione del sistema è $k=1$
Io ho considerato anche il caso $k<0$, in cui la prima disequazione è impossibile. Deve quindi esserlo anche la seconda e poiché il suo primo fattore cambia segno per $x=+-sqrt5$ deve farlo anche il secondo fattore. Deve quindi essere
$|+-sqrt5|-k-1=0->k=sqrt5-1$
non accettabile perché siamo nel caso $k<0$.
Per il caso $k>=0$ ho preferito lavorare considerando come incognita $x^2$; dalla prima disequazione ricavo subito
$4<=x^2<=k^2+4$
Per la seconda disequazione ho notato che $|x|-k-1>=0 harr|x|>=k+1$ può essere elevata a quadrato perché i due membri sono positivi e quindi equivale a $x^2>=(k+1)^2$; la seconda disequazione può quindi essere scritta come
$(5-x^2)[x^2-(k+1)^2]>=0$
e vale per valori interni alle soluzioni dell'equazione e cioè, a seconda del valore di $k$,
per $5<=x^2<=(k+1)^2$ oppure per $(k+1)^2<=x^2<=5$
Le due disequazioni sono equivalenti quando $x^2$ è compreso fra gli stessi estremi; essendo $5!=4$ l'unica possibilità è che si abbia
${((k+1)^2=4),(5=k^2+4):}->k=1$
$|+-sqrt5|-k-1=0->k=sqrt5-1$
non accettabile perché siamo nel caso $k<0$.
Per il caso $k>=0$ ho preferito lavorare considerando come incognita $x^2$; dalla prima disequazione ricavo subito
$4<=x^2<=k^2+4$
Per la seconda disequazione ho notato che $|x|-k-1>=0 harr|x|>=k+1$ può essere elevata a quadrato perché i due membri sono positivi e quindi equivale a $x^2>=(k+1)^2$; la seconda disequazione può quindi essere scritta come
$(5-x^2)[x^2-(k+1)^2]>=0$
e vale per valori interni alle soluzioni dell'equazione e cioè, a seconda del valore di $k$,
per $5<=x^2<=(k+1)^2$ oppure per $(k+1)^2<=x^2<=5$
Le due disequazioni sono equivalenti quando $x^2$ è compreso fra gli stessi estremi; essendo $5!=4$ l'unica possibilità è che si abbia
${((k+1)^2=4),(5=k^2+4):}->k=1$
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