Disequazione parametrica
Salve, recentemente mi sono imbattuto in questo problema:
Determinare la più piccola costante $a$ tale che
$6x^2 + y^2 +a \geq 4xy + y$
per ogni $x$ e $y$ interi. Per tale valore di a determinare le coppie $(x,y)$ di numeri reali per cui si ha uguaglianza.
Avevo provato a disegnare la conica espressa dall'equazione associata, ma è stato poco utile (oltre che abbastanza laborioso), e ora non ho idee. Qualcuno può aiutarmi?
Grazie in anticipo
Determinare la più piccola costante $a$ tale che
$6x^2 + y^2 +a \geq 4xy + y$
per ogni $x$ e $y$ interi. Per tale valore di a determinare le coppie $(x,y)$ di numeri reali per cui si ha uguaglianza.
Avevo provato a disegnare la conica espressa dall'equazione associata, ma è stato poco utile (oltre che abbastanza laborioso), e ora non ho idee. Qualcuno può aiutarmi?
Grazie in anticipo
Risposte
Dovrebbe essere
Purtroppo non dispongo delle soluzioni 
Che ragionamento hai seguito?
Che ragionamento hai seguito?
Il tuo 
E' stato molto utile e neanche tanto laborioso ...
E' un'ellisse (o meglio i valori "esterni" all'ellisse) ... ne disegni una senza $a$ (o meglio con $a=0$) poi provi con $a=1$ e $a=-1$ e già qui si capisce come andrà, prosegui con un paio di "dimezzamenti" e trovi $a$ ... ed anche $x$ e $y$ (dove l'ellisse sparisce ...)
Almeno così sembra ...
Cordialmente, Alex
EDIT: ho notato solo adesso che $x$ e $y$ devono essere interi; in questo caso dovrebbe essere $a=0$ e le coppie $(x,y)$ dovrebbero essere $(0,0),(0,1),(1,2),(1,3)$
E' stato molto utile e neanche tanto laborioso ...
E' un'ellisse (o meglio i valori "esterni" all'ellisse) ... ne disegni una senza $a$ (o meglio con $a=0$) poi provi con $a=1$ e $a=-1$ e già qui si capisce come andrà, prosegui con un paio di "dimezzamenti" e trovi $a$ ... ed anche $x$ e $y$ (dove l'ellisse sparisce ...)
Almeno così sembra ...
Cordialmente, Alex
EDIT: ho notato solo adesso che $x$ e $y$ devono essere interi; in questo caso dovrebbe essere $a=0$ e le coppie $(x,y)$ dovrebbero essere $(0,0),(0,1),(1,2),(1,3)$
Scusa, nello scrivere il problema avevo omesso alcune cose! In pratica avevo prima provato a traslarla e ruotarla togliendo il termine in $y$ e il termine rettangolare (e questa è stata la parte laboriosa 
) in modo da disegnarla più facilmente, solo che poi i calcoli venivano un po' sballati e soprattutto perdevo la corrispondenza riguardante le coppie di numeri.
Come hai fatto a disegnarla senza modificare l'equazione? L'hai abbozzata per punti?
Grazie per la risposta comunque, molto gentile
) in modo da disegnarla più facilmente, solo che poi i calcoli venivano un po' sballati e soprattutto perdevo la corrispondenza riguardante le coppie di numeri.Come hai fatto a disegnarla senza modificare l'equazione? L'hai abbozzata per punti?
Grazie per la risposta comunque, molto gentile
"Lucalucaluca":
Come hai fatto a disegnarla senza modificare l'equazione? L'hai abbozzata per punti?
Mica l'ho disegnata io
Uso un "softwerino" piccolo, semplice e facilissimo da usare ma sufficientemente potente (si chiama solo "Graph").
Come ho proceduto te l'ho detto, sono bastate poche prove (anzi per "gli interi", buona la prima
).Se poni $a$ inferiore a zero alcune coppie di interi finiscono "dentro" l'ellisse, mentre con $a=0$ nessuna coppia intera è interna mentre quelle quattro coppie "stanno" sull'ellisse.
Per curiosità, cosa ci devi fare e soprattutto COME dovresti risolverla?
Cordialmente, Alex
E' un problema della scuola S.Anna del quale ero curioso di conoscere la soluzione. Non so come si risolva, però penso sia richiesto un modo più 'pulito'
Beh, anche tu l'hai disegnata .... 
E poi ... i numeri non sono "saltati fuori" a caso, soprattutto gli interi, se permetti qualche ragionamento l'ho fatto ... non mi pare tu li abbia trovati ...
A parte le battute, TeM ha appena "pubblicato" questo bellissimo "riepilogo" sulle coniche (viewtopic.php?f=11&t=136136&p=867404#p867404)
Ecco, se vuoi, prova a partire da quello per risolvere in modo analitico la tua questione (così, a occhio, penso sia la strada giusta ...)
Cordialmente, Alex
E poi ... i numeri non sono "saltati fuori" a caso, soprattutto gli interi, se permetti qualche ragionamento l'ho fatto ... non mi pare tu li abbia trovati ...
A parte le battute, TeM ha appena "pubblicato" questo bellissimo "riepilogo" sulle coniche (viewtopic.php?f=11&t=136136&p=867404#p867404)
Ecco, se vuoi, prova a partire da quello per risolvere in modo analitico la tua questione (così, a occhio, penso sia la strada giusta ...)
Cordialmente, Alex
Un modo "pulito", come dici tu, forse l'ho trovato ...
Utilizzando il post di TeM si può stabilire che la nostra equazione è un'ellisse (la disequazione è soddisfatta anche dai punti "esterni" ad essa) e che il valore "limite" di $a$ oltre il quale la nostra ellisse da reale diventa immaginaria è appunto $a=3/4$. Per essere precisi quel valore fa diventare l'ellisi un punto e per quel valore ogni coppia di reali $(x,y)$ soddisfa la disequazione mentre l'uguaglianza è soddisfatta solo dalle coordinate del punto in questione.
Con un po' di lavoro si trova che le coordinate in questione sono per l'appunto $(1/2,3/2)$. Si può dimostrare che per ogni valore di $a<3/4$ tale punto è sempre interno a qualsiasi ellisse (lo si potrebbe considerare un po' come il centro delle ellissi).
la questione però non è ancora risolta perché si deve trovare il minimo valore di $a$ per cui nessuna coppia di interi sia interna alle ellisse.
Ora i valori interi di $x$ più vicini a $1/2$ sono zero e uno e quindi sembra logico cominciare a "testare" le diverse ellissi al variare di $a$ proprio con questi valori, mentre per quanto riguarda $a$ anche qui pare logico iniziare da valori comodi e non lontani da $a=3/4$.
Come nel post precedente io inzierei da $a=0$. Guarda caso (ma non poi tanto) questo valore soddisfa le richieste e quindi abbiamo già finito; nel caso non fosse stato il valore corretto avremmo proseguito con altri valori di $a$ avvicinandoci o allontanandoci da $a=3/4$ a seconda che il punto fosse interno o esterno.
Sinceramente non so quale sia la procedura più "diritta" però una l'ho trovata
Ciao, Alex
Utilizzando il post di TeM si può stabilire che la nostra equazione è un'ellisse (la disequazione è soddisfatta anche dai punti "esterni" ad essa) e che il valore "limite" di $a$ oltre il quale la nostra ellisse da reale diventa immaginaria è appunto $a=3/4$. Per essere precisi quel valore fa diventare l'ellisi un punto e per quel valore ogni coppia di reali $(x,y)$ soddisfa la disequazione mentre l'uguaglianza è soddisfatta solo dalle coordinate del punto in questione.
Con un po' di lavoro si trova che le coordinate in questione sono per l'appunto $(1/2,3/2)$. Si può dimostrare che per ogni valore di $a<3/4$ tale punto è sempre interno a qualsiasi ellisse (lo si potrebbe considerare un po' come il centro delle ellissi).
la questione però non è ancora risolta perché si deve trovare il minimo valore di $a$ per cui nessuna coppia di interi sia interna alle ellisse.
Ora i valori interi di $x$ più vicini a $1/2$ sono zero e uno e quindi sembra logico cominciare a "testare" le diverse ellissi al variare di $a$ proprio con questi valori, mentre per quanto riguarda $a$ anche qui pare logico iniziare da valori comodi e non lontani da $a=3/4$.
Come nel post precedente io inzierei da $a=0$. Guarda caso (ma non poi tanto) questo valore soddisfa le richieste e quindi abbiamo già finito; nel caso non fosse stato il valore corretto avremmo proseguito con altri valori di $a$ avvicinandoci o allontanandoci da $a=3/4$ a seconda che il punto fosse interno o esterno.
Sinceramente non so quale sia la procedura più "diritta" però una l'ho trovata
Ciao, Alex
Ah capito! Molto utili anche quelle considerazioni sulle coniche, grazie per la pazienza
Un approccio più algebrico? Riscriviamo la disequazione come
\(6x^2 + y^2 - 4xy - y \geq -a\)
si vede dunque che il problema consiste nel trovare il minimo di LHS. Usando un po' di analisi è una bazzecola da risolvere sui reali, ma a noi serve sugli interi
Facciamo qualche passaggio algebrico..
\(36 x^2 + 6 y^2 - 24 xy - 6y \geq - 6a\)
\((6x - 2y)^2 + 2 y^2 - 6y \geq - 6a\)
\(4(3x - y)^2 + 2y(y-3) \geq - 6a\)
\(2(3x - y)^2 + y(y-3) \geq - 3a\)
Sappiamo che \((3x - y)^2 \geq 0\) e che \(2 y(y-3) \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq y \leq 3\).
Ad occhio possiamo tranquillamente dire che il minimo sarà minore o uguale a \(0\), basta porre \(x = y = 0\) o \(x = 3y = 1\) per ottenere quel valore. D'altronde se fosse minore di \(0\) dovrebbe stare in \(0 < y < 3\), ma facendo i conti a mano si vede che non è vero. Ergo il minimo è \(0\), \(a = 0\).
I valori sui reali per cui si ha l'uguaglianza sono quelli dell'ellisse \(2(3x - y)^2 + y(y-3) = 0\), quindi basta parametrizzarla.
\(6x^2 + y^2 - 4xy - y \geq -a\)
si vede dunque che il problema consiste nel trovare il minimo di LHS. Usando un po' di analisi è una bazzecola da risolvere sui reali, ma a noi serve sugli interi
Facciamo qualche passaggio algebrico..
\(36 x^2 + 6 y^2 - 24 xy - 6y \geq - 6a\)
\((6x - 2y)^2 + 2 y^2 - 6y \geq - 6a\)
\(4(3x - y)^2 + 2y(y-3) \geq - 6a\)
\(2(3x - y)^2 + y(y-3) \geq - 3a\)
Sappiamo che \((3x - y)^2 \geq 0\) e che \(2 y(y-3) \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq y \leq 3\).
Ad occhio possiamo tranquillamente dire che il minimo sarà minore o uguale a \(0\), basta porre \(x = y = 0\) o \(x = 3y = 1\) per ottenere quel valore. D'altronde se fosse minore di \(0\) dovrebbe stare in \(0 < y < 3\), ma facendo i conti a mano si vede che non è vero. Ergo il minimo è \(0\), \(a = 0\).
I valori sui reali per cui si ha l'uguaglianza sono quelli dell'ellisse \(2(3x - y)^2 + y(y-3) = 0\), quindi basta parametrizzarla.
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