Discriminante negativo
Propongo un esercizio dedicato soprattutto a quanti hanno studiato da poco le equazioni di secondo grado.
Dimostrare che se il trinomio $ax^2+bx+c$ ha $Delta<0$ è impossibile trovare dei numeri reali $p,q,r,s$ in modo che valga sempre la formula
$ax^2+bx+c=(px+q)^2-(rx+s)^2$
Dimostrare che se il trinomio $ax^2+bx+c$ ha $Delta<0$ è impossibile trovare dei numeri reali $p,q,r,s$ in modo che valga sempre la formula
$ax^2+bx+c=(px+q)^2-(rx+s)^2$
Risposte
se per assurdo ciò accadesse,si avrebbe
$ax^2+bx+c=(px+q+rx+s)(px+q-rx-s)=[(p+r)x+q+s][(p-r)x+q-s]$
non potendo essere simultaneamente $p+r=0$ e $p-r=0$,una delle 2 equazioni, associate ai polinomi di 1° grado al secondo membro, ha soluzione e quindi l'equazione $ax^2+bx+c=0$ avrebbe una radice,contro l'ipotesi $Delta<0$
$ax^2+bx+c=(px+q+rx+s)(px+q-rx-s)=[(p+r)x+q+s][(p-r)x+q-s]$
non potendo essere simultaneamente $p+r=0$ e $p-r=0$,una delle 2 equazioni, associate ai polinomi di 1° grado al secondo membro, ha soluzione e quindi l'equazione $ax^2+bx+c=0$ avrebbe una radice,contro l'ipotesi $Delta<0$
Bravo! Aggiungo solo che entrambi i polinomi a secondo membro hanno uno zero: se fosse $p=r$ oppure $p=-r$ il polinomio $(px+q)^2-(rx+s)^2$ sarebbe di primo grado e quindi dalla formula iniziale ricaverei $a=0->Delta=b^2$ in contrasto con l'ipotesi che $Delta$ sia negativo.
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