Diofantea Bocconi

[robbstark1]

Uno degli esercizi Bocconi di quest'anno (cui non ho partecipato) portava a dovere risolvere la seguente equazione diofantea:
$ab + bc + ca - (a+b+c) + 1 = (abc)/2$, $a,b,c>0$
Pur avendo trovato tutte le soluzioni (almeno credo), sarei curioso di vedere se ci sono metodi più intelligenti/brevi per risolverla.

[Zero87]

Quando ho letto il tuo post mi si è acceso un led lampeggiante nella testa "equazione di terzo grado... equazione di terzo grado... equazione di terzo grado..." ma sono tre giorni che ci penso e non ne vengo a capo. Intanto lo uppo, poi magari passa qualcuno che risponde e mi tolgo questo cruccio dalla mente... oppure mi viene l'illuminazione!

[xXStephXx]

Non so se viene particolarmente bene. Da $1/2 = (1-1/a)(1-1/b)(1-1/c)$ si vede che una delle 3 variabili, supponiamo $a$, può valere solo $3$ o $4$. Fissato $a$ è facile trovare tutte le soluzioni in $b$ e $c$.

[robbstark1]

Bella soluzione! Io mi ero limitato ad osservare che un numero, per esempio $a$, doveva essere pari, quindi sostituivo i vari numeri pari ad $a$, e cercavo soluzioni per $b$ e $c$. Oltre ad essere più rozzo e lungo da applicare, non avevo trovato modo di accertarmi che non ci fossero altre soluzioni oltre a quelle trovate, mentre con questo ragionamento è piuttosto chiaro.

[Zero87]

Uff, pensavo ci si servisse delle relazioni tra le radici di un polinomio di terzo grado in una variabile ma evidentemente mi sbagliavo.

[j18eos]

@xXStephXx Non mi trovo coi segni!

[xXStephXx]

ma saranno giusti, sennò non ci sarebbero soluzioni!

[j18eos]

Faccio i calcoli (I parte):

\[
ab+bc+ca-(a+b+c)+1=\frac{abc}{2}\\
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)+\frac{1}{abc}=\frac{1}{2}\\
\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}+\frac{1}{bc}\right)+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{bc}=\frac{1}{2}\\
\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}+\frac{1}{bc}\right)-1+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{bc}=\frac{1}{2}-1\\
\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}+\frac{1}{bc}\right)-\left(1-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}+\frac{1}{bc}\right)=-\frac{1}{2}\\
\left(\frac{1}{a}-1\right)\left(1-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}+\frac{1}{bc}\right)=-\frac{1}{2}\\
\left(1-\frac{1}{a}\right)\left(1-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}+\frac{1}{bc}\right)=\frac{1}{2}\\
\left(1-\frac{1}{a}\right)\left[1-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\left(1-\frac{1}{b}\right)\right]=\frac{1}{2}\\
\left(1-\frac{1}{a}\right)\left(1-\frac{1}{b}\right)\left(1-\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{2}
\]
e continuo lo stesso a non trovarmi coi segni.

Faccio i calcoli (II parte):

se fosse \(\displaystyle a=1\) verrebbe \(\displaystyle0\) a sinistra: assurdo; per \(\displaystyle a=2\) si avrebbe che:
\[
\left(1-\frac{1}{b}\right)\left(1-\frac{1}{c}\right)=1
\]
e le soluzioni intere (che esistono) non sono entrambe positive.
Quindi dev'essere \(\displaystyle a\geq3\).

...e poi basta.

[xXStephXx]

La trollata penso stia nel fatto che moltiplicando tutto per $abc$, da una parte ottieni proprio ${abc}/2$ e dall'altra tutti i segni scambiati, ma tra quelli c'è pure un addendo $abc$ che fa quadrare il conto

[giammaria2]

Non capisco quale problema abbia j18eos con i segni: ha ottenuto la stessa equazione di xXStephXx, a parte lo scambio fra i due membri.

Proseguo da
$(1-1/a)(1-1/b)(1-1/c)=1/2$
In media i tre fattori valgono $root(3)(1/2)=0.7937$, quindi almeno uno deve essere inferiore a questo valore. Supponendo che sia il primo, da
${(1-1/a<0.7937),(a in N_+):}$ ricavo $a<=4$
che, unito al già trovato $a>=3$, indica come uniche soluzioni $a=3vva=4$.

Per $a=3$ la diofantea diventa
$(1-1/b)(1-1/c)=3/4$
Ripetendo il ragionamento per il valore medio dei due fattori trovo $b<=7$; per tentativi arrivo alle terne $(3,5,16), (3,6,10), ( 3,7,8)$.

Analogamente $a=4$ porta alle terne $(4,4,9), (4,5,6)$.

[j18eos]

"xXStephXx":La trollata penso stia nel fatto che moltiplicando tutto per $abc$, da una parte ottieni proprio ${abc}/2$ e dall'altra tutti i segni scambiati, ma tra quelli c'è pure un addendo $abc$ che fa quadrare il conto

Io parlerei di vera e propria fregatura!

[Erasmus_First]

"xXStephXx":[...] moltiplicando tutto per $abc$, da una parte ottieni proprio ${abc}/2$ [...]

???
Moltiplicare???
Torniamo al quiz iniziale:

"robbstark":[...]equazione diofantea:
$ab + bc + ca - (a+b+c) + 1 = (abc)/2$ $a,b,c>0$

.Sottraendo ad $abc$ l'uno e l'altro membro si ricava subito:
$abc - (ab + bc + ca) + (a + b + c) – 1 = abc – (abc)/2$ <=> $(a-1)(b-1)(c-1) = (abc)/2$.

Conviene DIVIDERE entrambi i membri per $abc$. Si ottiene infatti:
$(a–1)/a · (b-1)/b · (c–1)/c = 1/2$
––––
Anche se la soluzione è già stata data, mi piace ritrovarla ... a modo mio.

Se una terna è soluzione, allora soluzione è anche ogni sua distinta permutazione.
Possiamo limitarci alle ricerca delle terne $[a, b, c]$ con $a ≤ b ≤ c$.

Risalta di colpo che se $a$, $b$ e $c$ fossero interi consecutivi (cioè $b = a+1$ e $c = b+1 = a+2$) l'equazione diverrebbe:
$(a-1)/a · a/(a+1) · (a+1)/(a+2) = 1/2$ <=> $(a–1)/(a+2) = 1/2$ <=> $2a - 2 = a + 2$ <=> $a = 4$.
Pertanto una soluzione è $[a, b, c] = [4, 5, 6]$.

Da qui, avendo imposto $a ≤ b ≤ c$, per $a=4$, se fosse $b < 5$ dovrebbe essere $b = 4$ e $c > 6$.
Cerco allora l'eventuale soluzione del tipo $[4, 4, c]$.
$3/4 · 3/4 · (c-1)/c = 1/2$ <=> $(c-1)/c = 8/9$ <=> $c = 9$.
Pertanto un'altra soluzione è $[a, b, c] = [4, 4, 9]$.

Cerco ora eventuali soluzioni con $a < 4$.
Non va bene $a=1$ (che porta all'assurdo 0 = 1/2).
Con $a = 2$ si avrebbe
$1/2 · (b–1)/b · (c-1)/c = 1/2$ <=> $bc – (b+c) + 1 = bc$ <=> $b+c =1$
che non va bene perché il quiz impone $b+c ≥ 2$.

Per $a=3$, moltiplicando entrambi i membri per 2 viene:
$4/3·(b–1)/b · (c–1)/c = 1$; e allora o $b - 1$ è divisibile per 3 oppure $c - 1$ è divisibile per 3.
Supponiamo perciò $b = 3k+1$ (oppure $c=3k+1$) e ... proviamo successivamente per $k = 1, 2, 3, 4, 5 ...$
• $k = 1$ => $b = 4$.
$4/3 · 3/4 · (c–1)/c = 1$ => $c–1 = c$ (impossibile)–––> $b = 4$ NON va bene.
• $k = 2$ –––> $b = 7$.
$4/3· 6/7 · (c–1)/c = 1$ <=> $(c–1)/c= 7/8$ => $c = 8$ ––> Altra soluzione: $[a, b, c] = [3, 7, 8]$.
• $k = 3$ => $c= 10$.
$4/3·(b–1)/b · 9/10= 1$ <=> $(b – 1)/b = 5/6$ <=>$b = 6$ ––> Altra soluzione: $[a, b, c] = [3, 6, 10]$.
• $k = 4$ => $c= 13$.
$4/3·(b–1)/b · 12/13= 1$ <=> $(b – 1)/b = 39/48$ NON va bene [perché viene $b = 16/3$ non intero)].
• $k = 5$ => $c= 16$.
$4/3·(b–1)/b · 15/16 = 1$ <=> $(b – 1)/b = 4/5$ <=>$b = 5$ ––> Altra soluzione: $[a, b, c] = [3, 5, 16]$.
• $k ≥ 6$ => $c= 3k+1 ≥ 19$.
$4/3·3k/(3k+1) · (b–1)/b = 1$ <=> $(b-1)/b=(3k+1)/(4k)$ <=> $b = (4k)/(k-1) = 4 + 4/(k-1)$ che NON va bene per $k≥6$ (perché $b$ non viene intero).

Riassumendo, le soluzioni sono le 5 terne seguenti.
$ [3,5,16]$; $[3, 6, 10]$; $[3, 7, 8]$, $[4,4,9]$, $[4, 5, 6]$
(e ogni loro distinta permutazione).
______

[robbstark1]

@ Erasmus_First
Per trovare le soluzioni funziona, ma non discuti alcuni casi come $a=2$, $a>4$, e $a=3$ $b=3k$, cosa che comunque può essere fatta con ragionamenti simili ai precedenti, adattati alla diversa forma dell'equazione che hai scelto.

[giammaria2]

@ Erasmus_First
E' una bella soluzione, ma la mia (che ho messo in spoiler) mi sembra più rapida. Comunque fa sempre piacere vedere metodi diversi.

[xXStephXx]

"giammaria":
$(1-1/b)(1-1/c)=3/4$

Questa è $(b-4)(c-4)=12$ da cui si vede che le soluzioni sono $(3,16,5), (3, 10, 6), (3, 8, 7)$. (Basta vedere i divisori di $12$).

Mentre l'altra è $(b-3)(c-3)=6$ che da $(4,9,4), (4, 6,5)$.

[Erasmus_First]

"robbstark":@ Erasmus_First
Per trovare le soluzioni funziona, ma non discuti alcuni casi come $a=2$, $a>4$, e $a=3$ $b=3k$,

Ho discusso TUTTI i casi!
a) Non ho ripetuto (perché già fatto da altri) che non è possibile a = b = c . Per comune valore [intero] di $a$, $b$ e $c$ minore d 5 il membro di sinistra viene di meno di 1/2. E per valore comune maggiore di 4 viene di più di 1/2.
Ho constatato invece che RISALTA (ossia appare in evidenza) che per $a$, $b$ e $c$ consecutivi si arriva dritti alla soluzione [4, 5, 6], partendo dalla quale tutto è più facile.
b) Ho discusso la condizione $a = 4$ trovando l'altra soluzione $[4,4,9]$.
Non ha senso discutere $a>4$ dopo aver detto che è sufficiente considerare le terne con $a ≤ b ≤ c$, [perché poi saranno soluzioni tutte le distinte permutazioni delle soluzioni ordinate in ordine crescente]. Per esempio, se fosse $a = 5$ NECESSARIAMENTE o $b$ o $c$ sarebbe minore di 5. Ossia: almeno una delle tre indeterminate deve essere minore di 5.
c) Ho discusso a=1 e a=2, trovando che non portano a soluzioni.
b) Ho discusso $a = 3$ trovando TUTTE le possibili soluzioni (sempre in ordine crescente $a ≤ b ≤ c$
[Esplicitamente è considerato il caso k = 3 ponendo c = 3k + 1 = 10, (invece di b = 3k +1) nel rispetto dell'ordine stabilito:
$a ≤ b ≤ c$.

La mia trattazione è più lunga delle precedenti solo perché vuole essere pignolescamente completa!
______

[robbstark1]

"Erasmus_First":
Ossia: almeno una delle tre indeterminate deve essere minore di 5.

Il dubbio nasceva dal fatto che questa parte non mi pare specificata, ma ok era già stato fatto notare. Chiarito questo tutto torna (per $a=2$ è stata una svista). Complimenti.

[Erasmus_First]

"giammaria":[...] la mia (che ho messo in spoiler) mi sembra più rapida.

La tua è bellissima.
Ma è più rapida perché ... non la sbrodoli fino in fondo (come invece ho fatto io; a scapito della concisione, ma anche dell'eleganza).
Ti cito in tre casi in cui eviti di "sbrodolare":
a) « ...unito al già trovato $a≥3$, indica come uniche soluzioni $a=3$ [size=120]∨[/size] $a=4$ »
[NB: il "già trovato $a≥3$" non sta nello stesso post che lo usa ]
b) «[...] per tentativi arrivo alle terne (3,5,16), (3,6,10), (3,7,8).»
[NB: Io ho fatto appunto i 5 tentavi $b$ (o $c$) del tipo $3k+ 1$ per $k =1, 2, 3, 4$ e $5$ , (trovando che non andava bene k = 1 né k = 4) e verificato che per k > 5 (ossia per c > 16) non c'erano più soluzioni.]
c) « Analogamente $a=4$ porta alle terne (4,4,9),( 4,5,6).»
______

[giammaria2]

Accetto la critica di Erasmus_First; il fatto è che non mi piace ripetere ragionamenti già fatti o scrivere cose che chiunque può facilmente calcolare da solo.

Non mi è chiaro invece il modo in cui xXStephXx passa da $(1-1/b)(1-1/c)=3/4$ a $(b-4)(c-4)=12$ anche se, conoscendolo, credo che sia giusto. Suppongo che abbia fatto le sostituzioni $b_1=4/b$ e $c_1=4/c$ ma il fatto che un prodotto sia intero non implica che lo siano anche i suoi fattori ed avrei gradito qualche ulteriore spiegazione.

[xXStephXx]

"giammaria":Non mi è chiaro invece il modo in cui xXStephXx passa da $(1-1/b)(1-1/c)=3/4$ a $(b-4)(c-4)=12$ anche se, conoscendolo, credo che sia giusto. Suppongo che abbia fatto le sostituzioni $b_1=4/b$ e $c_1=4/c$ ma il fatto che un prodotto sia intero non implica che lo siano anche i suoi fattori ed avrei gradito qualche ulteriore spiegazione.

Ho fatto solo i conti xD
$(1-1/b)(1-1/c)=3/4$ moltiplico tutto per $bc$
$4(b-1)(c-1) = 3bc$ svolgo i conti
$4bc-4b-4c+4-3bc=0$ che diventa
$bc-4b-4c+4= b(c-4) -4(c-4) -12 = (b-4)(c-4)-12=0$ da cui $(b-4)(c-4)=12$

Da qui si vede facilmente quali sono le soluzioni, non servono nè tentativi nè casi, si tratta solo di fattorizzare $12$ in tutti i prodotti di due divisori
Sul fatto che un prodotto intero non implica che lo siano pure i suoi divisori penso ci sia poco da dire qui, l'avrei dato per scontato in qualunque contesto (forse erroneamente ), se $b-4$ e $c-4$ sono interi (dato che $b$ e $c$ sono interi) è chiaro che si prendono solo divisori interi xD

[giammaria2]

Così facile e non mi veniva in mente! Grazie mille.