Diofantea

[Pachisi]

a) Determinare tutte le coppie $ (x,k) $ di interi positivi che soddisfano l'equazione $ 3^k-1=x^3 $.
b) Dimostrare che per ogni intero $ n>1$, $n \ne 3 $, non esiste nessuna coppia $ (x,k) $ di interi positivi che soddisfi l'equazione $ 3^k-1=x^n $.

[E-3131]

non vorrei dire una sciocchezza, ma è la congettura di Catalan, l'unica coppia per il punto a) dovrebbe essere (2,2), e per il punto b) dovresti vedere la dimostrazione tel teorema.

[Pachisi]

L'unica soluzione per il punto a) è $ (2,2)$. La congettura di Catalan credo affermi che l'unica soluzione di $ x^a-y^b=1 $, con $x, y, a, b >1 $ e interi è data da $x=b=3, a=y=2$, quindi dovrebbe essere diverso dal problema che ho proposto.

[dolii45]

Però non spiego il trucco...



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33. http://www.solitairechamp.net/

[Pachisi]

Posto la mia soluzione nel caso qualcuno la volesse vedere.

a) Dall'equazione iniziale, troviamo $ 3^k=x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) $ e, scrivendo $ k=a+b $ con $b>a$ ed entrambi interi positivi, abbiamo \begin{cases}3^a=x+1\\3^b=x^2-x+1\end{cases} Per $a=1$, troviamo la soluzione $x=k=2 $. Siano ora $a$ e $b$ entrambi maggiori di $1$. Allora, si ha $ x=3^a-1$ e, dunque, $ (3^a-1)^2-(3^a-1)+1=3^b$. Semplificando, troviamo che deve essere $3(3^(2a-1)-3^a+1)=3^b$. Ora, $3^(2a-1)-3^a+1>1 $ e non è una potenza di $3$. Dunque, non vi sono altre soluzioni.

b) Distinguiamo in due casi: i) $n$ pari; ii) $n$ dispari.

Caso i: Essendo $n$ pari, possiamo scrivere $n=2m$ con $m$ intero positivo. Allora, si ha $3^k-1=x^n=(x^m)^2$. Notiamo che $ 3^k-1=-1 (mod 3)=2 (mod 3)$, e $(x^m)^2= 0 (mod 3)$, o $(x^m)^2= 1 (mod 3)$, essendo $ (x^m)^2$ un quadrato perfetto. Si vede facilmente che non vi sono soluzioni con $n$ pari.

Caso ii: Essendo $n$ dispari, possiamo scrivere $3^k=x^n+1=(x+1)(x^(n-1)-x^(n-2)+...-x+1)$ e, scrivendo $k=a+b$, con $a$, $b$, interi positivi \begin{cases}3^a=x+1\\3^b=x^{n-1}-x^{n-2}+...-x+1\end{cases} Dividendo $x^(n-1)-x^(n-2)+...-x+1$ per $x+1$, troviamo, per un polinomio $p(x)$, $x^(n-1)-x^(n-2)+...-x+1=p(x)(x+1)+r$, dove $r$ è il resto della divisione. Per $x=-1$, si ha $x^(n-1)-x^(n-2)+...-x+1=r=n$. Essendo $x^(n-1)-x^(n-2)+...-x+1$ una potenza di $3$, segue che $n$ è multiplo di $3$, dunque, per un intero positivo $t$, $n=3t$. Ora l'equazione iniziale diventa $3^k-1=x^(3t)$. Ponendo $x^t=q$, abbiamo $3^k-1=q^3$, che ha come soluzione (parte a) solo $k=q=2$, dunque, $x^t=q=2$, che tuttavia non ha alcuna soluzione intera. Segue la tesi.