Dimostrazione pseudo-ovvia (per me)
l'enunciato del problema é : Dimostra che $ root(2) (a) + root(3) (b) $ é razionale se e solo se $ a $ e $ b $, sono rispettivamente un quadrato perfetto e un cubo perfetto.
allora la tesi é che $ root(2) (a) + root(3) (b) $ $ in $ $ Q $. L' ipotesi é $ root(2) (a) = m $ e
$ root(3) (b) = n $.
Il punto é che non riesco piú ad andare avanti. Ovviamente l'affermazione é vera e si vede subito ma io non so formalizzare (nemmeno il minimo) i miei ragionamenti. Voi che come procedereste?
bho ci provo... quindi per ipotesi, l'espressione puó essere scritta cosi $ m+n $ che é uguale ad un numero $ c $ e poi...
somma di numeri razionali forma un numero razionale quindi il teorema é dimostrato?????
Visto che pensieri sgangherati...
EDIT:ho cambiato l'insieme di appartenenza, avevo fatto un errore, da R a Q
allora la tesi é che $ root(2) (a) + root(3) (b) $ $ in $ $ Q $. L' ipotesi é $ root(2) (a) = m $ e
$ root(3) (b) = n $.
Il punto é che non riesco piú ad andare avanti. Ovviamente l'affermazione é vera e si vede subito ma io non so formalizzare (nemmeno il minimo) i miei ragionamenti. Voi che come procedereste?
bho ci provo... quindi per ipotesi, l'espressione puó essere scritta cosi $ m+n $ che é uguale ad un numero $ c $ e poi...
somma di numeri razionali forma un numero razionale quindi il teorema é dimostrato?????
Visto che pensieri sgangherati...
EDIT:ho cambiato l'insieme di appartenenza, avevo fatto un errore, da R a Q
Risposte
Sei sicuro dell'enunciato? Perché non è vero il "solo se" ...
sicurissimo, il problema é preso dalla lista delle domande orali SNS del 2016. Penso quindi che sia un errore di battitura...cmq qualche hints riguardo alla dimostrazione senza il "se e solo se"?
Premesso che per me "quadrato perfetto" e "cubo perfetto" significano "quadrato" e "cubo" di un numero intero; se si intende altro allora il discorso cambia ...
Se $a$ è un quadrato perfetto e $b$ è un cubo perfetto allora $s=root(2)(a)+root(3)(b)$ è un numero razionale.
Questa è banale: per ipotesi $a=p^2$ e $b=q^3$ con $p$ e $q$ interi, quindi $s=root(2)(p^2)+root(3)(q^3)=p+q$
Se $s=root(2)(a)+root(3)(b)$ è un numero razionale allora $a$ è un quadrato perfetto e $b$ è un cubo perfetto.
Questa è falsa: basta prendere, per esempio, $a=9/4$ e $b=27/8$ ed otteniamo che $s$ è razionale ma $a$ non è un quadrato perfetto e neppure $b$ è un cubo perfetto.
Se $a$ è un quadrato perfetto e $b$ è un cubo perfetto allora $s=root(2)(a)+root(3)(b)$ è un numero razionale.
Questa è banale: per ipotesi $a=p^2$ e $b=q^3$ con $p$ e $q$ interi, quindi $s=root(2)(p^2)+root(3)(q^3)=p+q$
Se $s=root(2)(a)+root(3)(b)$ è un numero razionale allora $a$ è un quadrato perfetto e $b$ è un cubo perfetto.
Questa è falsa: basta prendere, per esempio, $a=9/4$ e $b=27/8$ ed otteniamo che $s$ è razionale ma $a$ non è un quadrato perfetto e neppure $b$ è un cubo perfetto.
Ma anche se volessiomo stare larghi e chiamare quadrato perfetto il quadrato di un razionale la frase
Se $ s=root(2)(a)+root(3)(b) $ è un numero razionale allora a è un quadrato perfetto e b è un cubo perfetto.
sarebbe falsa: basta prendere, per esempio, $a=12+6sqrt3$ e $b=10-6sqrt3$ ed otteniamo che $s=4$ è razionale, ma $a$ non è un quadrato perfetto e neppure $b$ è un cubo perfetto.
Se $ s=root(2)(a)+root(3)(b) $ è un numero razionale allora a è un quadrato perfetto e b è un cubo perfetto.
sarebbe falsa: basta prendere, per esempio, $a=12+6sqrt3$ e $b=10-6sqrt3$ ed otteniamo che $s=4$ è razionale, ma $a$ non è un quadrato perfetto e neppure $b$ è un cubo perfetto.
@melia
Curiosità: come hai fatto a trovare $a$ e $b$ in modo da far sì che $s=4$? A parte i radicali doppi (che forse non c'entrano neanche) non mi viene niente di facile ...
Per inciso, il "basta prendere $a=@#^£βμ ...$" è troppo carino
EDIT: noto solo ora che mi hai "rubato" la frase, anzi quasi tutto il post ...
... questa è classe
Curiosità: come hai fatto a trovare $a$ e $b$ in modo da far sì che $s=4$? A parte i radicali doppi (che forse non c'entrano neanche) non mi viene niente di facile ...
Per inciso, il "basta prendere $a=@#^£βμ ...$" è troppo carino
EDIT: noto solo ora che mi hai "rubato" la frase, anzi quasi tutto il post ...
... questa è classe
Ho fatto il procedimento inverso. Prima ho calcolato il cubo di un irrazionale, $(1-sqrt3)^3=10-6sqrt3$ e poi, con un po' di conti, ho trovato un quadrato che avesse come termine misto $6sqrt3$.
Credo che si siano dimenticati di scrivere l'ipotesi che $a,b$ sono interi. In questo caso, detta $s$ la somma, abbiamo
$root(3)b=s-sqrt a$
ed elevandola al cubo otteniamo
$b=s^3-3s^2 sqrt a+3sa-a sqrt a" "=>" "b=s(s^2+3a)-(3s^2+a)sqrta$
Poiché tutto il resto è razionale, deve esserlo anche l'ultimo addendo e questo può avvenire solo in due casi:
1) Si ha $3s^2+a=0$
Per l'esistenza di $sqrt a$ sappiamo che $a>=0$, quindi siamo in questo caso se e solo se $s=0^^a=0$ e quindi $b=0$: tesi dimostrata.
2) $sqrt a$ è razionale
Allora $a$ è il quadrato di un numero razionale e $b=(s-sqrta)^3$ è il cubo di un razionale. Ma $a,b$ sono numeri interi, quindi sono interi anche i due razionali in questione.
$root(3)b=s-sqrt a$
ed elevandola al cubo otteniamo
$b=s^3-3s^2 sqrt a+3sa-a sqrt a" "=>" "b=s(s^2+3a)-(3s^2+a)sqrta$
Poiché tutto il resto è razionale, deve esserlo anche l'ultimo addendo e questo può avvenire solo in due casi:
1) Si ha $3s^2+a=0$
Per l'esistenza di $sqrt a$ sappiamo che $a>=0$, quindi siamo in questo caso se e solo se $s=0^^a=0$ e quindi $b=0$: tesi dimostrata.
2) $sqrt a$ è razionale
Allora $a$ è il quadrato di un numero razionale e $b=(s-sqrta)^3$ è il cubo di un razionale. Ma $a,b$ sono numeri interi, quindi sono interi anche i due razionali in questione.
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