Dimostrazione irrazionalità

[Essor2]

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Qualche idea?

[dan952]

Binomio di Newton + osservazione che basta dimostrarlo solo per $z>0$)

Applicando Newton viene fuori un numero della forma $A+√2B$ con $A,B \in ZZ$ che è chiaramente irrazionale (perché?).

Oppure per induzione su $z>0$

[Erasmus_First]

"dan95":[...] un numero della forma $A+√2B$ con $A,B \in ZZ$ che è chiaramente irrazionale (perché?).

Per assurdo, se $x$ fosse irrazionale e invece $A+Bx$ (con A e B interi diversi da 0) fosse razionale esisterebbero due interi $p$ e $q$ coprimi talii da dare $A+Bx = p/q$, da cui risulterebbe $x=(p-qA)/(qB)$, ossia che $x$ sarebbe razionale, contro l'ipotesi.
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Sia $r$ razionale e sia $x$ irrazionale. Ragionando per assurdo è facile provare che tanto $rx$ quanto $r+x$ sono irrazionali.
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