Dimostrazione geometrica
Salve a tutti, colgo l'occasione per mostrarvi un giochino molto semplice ma allo stesso tempo pongo anche una domanda.
Stiamo parlando della simmetria assiale rispetto alla retta inclinata in figura: il tutto sarebbe dimostrare geometricamente che le immagini dei punti $A$, $B$ e $C$ sono rispettivamente $A'$, $B'$ e $C'$.
Il punto $A$ lo posto io, il punto $B$ sono riuscito ma lo lascio a voi, il punto $C$ anche ma io personalmente non riesco a trovare una dimostrazione, almeno abbastanza semplice per non incasinarsi troppo, quindi per me il caso è aperto a voi
.
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Per il punto A, procedo così:
In figura le altezze relative alle ipotenuse gialle sono congruenti perchè di triangoli congruenti, dunque (lasciate stare che la figura è stata fatta male, infatti non si capisce che sono perpendicolari
) il segmento perpendicolare che cerchiamo è il prolungamento di $AY$. Di quanto? Deve essere congruente a quelli gialli, quindi fino a quando interseca $OE$.
Prolungando, si nota che (ma anche questo andrebbe in qualche modo dimostrato, ma per semplificare le cose diamolo per certo) il segmento interseca $OE$ nel punto di coordinate $-0,5;1$ (i numeri non li ho segnati ma corrispondono ai quadretti).
Il perchè $0,5$ si può facilmente dimostrare, essendo quel punto l'intersezione delle diagonali del rettangolo $EDO-1$.
Scervellatevi un po'!
Stiamo parlando della simmetria assiale rispetto alla retta inclinata in figura: il tutto sarebbe dimostrare geometricamente che le immagini dei punti $A$, $B$ e $C$ sono rispettivamente $A'$, $B'$ e $C'$.
Il punto $A$ lo posto io, il punto $B$ sono riuscito ma lo lascio a voi, il punto $C$ anche ma io personalmente non riesco a trovare una dimostrazione, almeno abbastanza semplice per non incasinarsi troppo, quindi per me il caso è aperto a voi
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Per il punto A, procedo così:
In figura le altezze relative alle ipotenuse gialle sono congruenti perchè di triangoli congruenti, dunque (lasciate stare che la figura è stata fatta male, infatti non si capisce che sono perpendicolari
) il segmento perpendicolare che cerchiamo è il prolungamento di $AY$. Di quanto? Deve essere congruente a quelli gialli, quindi fino a quando interseca $OE$.Prolungando, si nota che (ma anche questo andrebbe in qualche modo dimostrato, ma per semplificare le cose diamolo per certo) il segmento interseca $OE$ nel punto di coordinate $-0,5;1$ (i numeri non li ho segnati ma corrispondono ai quadretti).
Il perchè $0,5$ si può facilmente dimostrare, essendo quel punto l'intersezione delle diagonali del rettangolo $EDO-1$.
Scervellatevi un po'!
Risposte
La tua domanda è posta in modo poco chiaro: vuoi una risposta in geometria elementare o in analitica?
Propendo per la seconda ipotesi, visto che sembri dare la coordinate dei punti, ma allora occorre l'equazione della retta. Osservando il grafico, noto che approssima molto la $y=-2x+2$ (quindi $m=-2$); in mancanza di meglio, assumo che abbia quell'equazione. Dato un punto $P(x,y)$, per trovarne il simmetrico $P'(x',y')$ basta imporre che $P P'$ sia perpendicolare alla retta e che il suo punto medio $((x'+x)/2,(y'+y)/2)$ vi appartenga, cioè basta risolvere (rispetto alla incognite $x',y'$) il sistema
${((y'-y)/(x'-x)=1/2),((y'+y)/2=-2(x'+x)/2+2):}$
Non sto a fare i facili calcoli.
Per chi non ha ancora studiato l'analitica, il problema può però essere interessante.
Propendo per la seconda ipotesi, visto che sembri dare la coordinate dei punti, ma allora occorre l'equazione della retta. Osservando il grafico, noto che approssima molto la $y=-2x+2$ (quindi $m=-2$); in mancanza di meglio, assumo che abbia quell'equazione. Dato un punto $P(x,y)$, per trovarne il simmetrico $P'(x',y')$ basta imporre che $P P'$ sia perpendicolare alla retta e che il suo punto medio $((x'+x)/2,(y'+y)/2)$ vi appartenga, cioè basta risolvere (rispetto alla incognite $x',y'$) il sistema
${((y'-y)/(x'-x)=1/2),((y'+y)/2=-2(x'+x)/2+2):}$
Non sto a fare i facili calcoli.
Per chi non ha ancora studiato l'analitica, il problema può però essere interessante.
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