Dimostrazione
Ciao ragazzi, ho trovato un esercizio che non ho idea di come risolvere, se possibile mi farebbe veramente comodo un aiuto.
L'esercizio è un quesito della prova di ammissione alla SSAS dello scorso anno:
Siano $x,y$ numeri reali positivi. Dimostrare che:
$4xy<=x^4+3y^(4/3)$
Grazie in anticipo per eventuali risposte.
L'esercizio è un quesito della prova di ammissione alla SSAS dello scorso anno:
Siano $x,y$ numeri reali positivi. Dimostrare che:
$4xy<=x^4+3y^(4/3)$
Grazie in anticipo per eventuali risposte.
Risposte
Sia \(\displaystyle x>y\), moltiplicando entrambi i lati per \(\displaystyle y^3\), otteniamo
\(\displaystyle 4\cdot{x}\cdot{y^4} \leq x^4\cdot{y^3}+3\cdot{y^4}\).
Poi, sottraendo \(\displaystyle 3\cdot{y^4}\) da entrambi i lati e, fattorizzando, si ha:
\(\displaystyle y^4\cdot{(4\cdot{x}-3)} \leq x^4\cdot{y^3}\).
Dividendo entrambi i lati per \(\displaystyle x^4\cdot{y^3}\), con \(\displaystyle x\) e \(\displaystyle y\) non uguali a zero, abbiamo:
\(\displaystyle \frac{y\cdot{(4\cdot{x}-3)}}{x^4} \leq 1\), il che e` vero.
Se fosse stato \(\displaystyle x=y\), avremo avuto \(\displaystyle \frac{4\cdot{x}-3}{x^3} \leq 1\), il che sarebbe stato ancora vero.
Per \(\displaystyle x
Non sono sicuro che sia giusto, ma a me pare di si. Ti consiglio di aspettare suggerimenti dai piu` esperti.
\(\displaystyle 4\cdot{x}\cdot{y^4} \leq x^4\cdot{y^3}+3\cdot{y^4}\).
Poi, sottraendo \(\displaystyle 3\cdot{y^4}\) da entrambi i lati e, fattorizzando, si ha:
\(\displaystyle y^4\cdot{(4\cdot{x}-3)} \leq x^4\cdot{y^3}\).
Dividendo entrambi i lati per \(\displaystyle x^4\cdot{y^3}\), con \(\displaystyle x\) e \(\displaystyle y\) non uguali a zero, abbiamo:
\(\displaystyle \frac{y\cdot{(4\cdot{x}-3)}}{x^4} \leq 1\), il che e` vero.
Se fosse stato \(\displaystyle x=y\), avremo avuto \(\displaystyle \frac{4\cdot{x}-3}{x^3} \leq 1\), il che sarebbe stato ancora vero.
Per \(\displaystyle x
Non sono sicuro che sia giusto, ma a me pare di si. Ti consiglio di aspettare suggerimenti dai piu` esperti.
"aldoxz":
Mi pare di aver già risposto ad un quesito del genere. Comunque, per AM-GM, si può scrivere così:
\(x^4+3y^{4/3}=x^4+y^{4/3}+y^{4/3}+y^{4/3}\geq 4\cdot \sqrt[4]{x^4\cdot y^{4/3}\cdot y^{4/3}\cdot y^{4/3}}=4xy\)
C.V.D.
Ok scritta cosi sembra semplice, ma come fai a essere certo che:
\(x^4+y^{4/3}+y^{4/3}+y^{4/3}\geq 4\cdot \sqrt[4]{x^4\cdot y^{4/3}\cdot y^{4/3}\cdot y^{4/3}}\)
?
Grazie a entrambi per le risposte intanto
"aldoxz":
@Frenk
E' la regola AM-GM che afferma che la media aritmetica ( AM) di n reali positivi è non minore della loro media geometrica (GM) :
\( \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\geq \sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot...\cdot x_n} \)
Una dimostrazione di questa relazione la puoi trovare anche su Internet.
Non lo sapevo
Grazie tante per l'aiuto e per le delucidazioni.
Una dimostrazione alternativa potrebbe essere la seguente:
Si consideri la funzione $f(t)=t^4-4t+3$
Si vede con un elementare studio che $f(t)\geq 0$ $\forall t$
Se si pone $t=\frac{x}{y^{\frac{1}{3}}}$ si ottiene la disuguaglianza proposta.
Si consideri la funzione $f(t)=t^4-4t+3$
Si vede con un elementare studio che $f(t)\geq 0$ $\forall t$
Se si pone $t=\frac{x}{y^{\frac{1}{3}}}$ si ottiene la disuguaglianza proposta.
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