Dimostrazione...
Salve, giorni fa il mio professore di matematica ci ha chiesto di provare a dimostrare la disequazione:
$a^n>n(a-1)+1$
ho provato a fare delle considerazioni ma non sono riuscito nell'intento. Siccome non abbiamo avuto tempo di correggerla vorrei sapere se qualcuno di voi potrebbe aiutarmi a capirne la dimostrazione, Grazie.
$a^n>n(a-1)+1$
ho provato a fare delle considerazioni ma non sono riuscito nell'intento. Siccome non abbiamo avuto tempo di correggerla vorrei sapere se qualcuno di voi potrebbe aiutarmi a capirne la dimostrazione, Grazie.
Risposte
"xXStephXx":
Prova qui http://it.wikipedia.org/wiki/Disuguagli ... _Bernoulli
Se non ricordo male giampierovignola è al quarto superiore - ricordo molte discussioni con lui sui numeri primi
- e non so se sappia l'induzione.Io non l'ho mai fatta (erano altri tempi, comincio a diventà vecchio forte
) e so che ora, invece, al liceo è nel programma anche se non ho idea di quando e come...
Io non l'ho mai fatta a scuola, anche se mi sa che da 2 anni dopo che ho cominciato il liceo i programmi sono migliorati.
Quindi lui in teoria dovrebbe rientrare proprio nell'anno della riforma credo... boh
E comunque non è mai troppo presto per imparare l'induzione, anzi forse andrebbe fatta pure prima del quarto liceo...
Volendo come alternativa c'è lo sviluppo binomiale:
con $b=a-1$ la tesi diventa $(b+1)^n \geq nb+1$
Sviluppando $(b+1)^n$ tra tutti i termini compare sicuramente $nb$ e anche $1$.
Questo però è rognoso da spiegare bene in modo discorsivo....
Si può scrivere $(b+1)^n$ come $(b+1)(b+1)(b+1)...(b+1)$ $n$ volte.
Ora si può considerare che per svolgere quel prodotto dentro ogni parentesi tonda si prende in considerazione un solo addendo alla volta e si moltiplicano tutti i valori scelti all'interno di ogni parentesi tra di loro. Alla fine si sommano tutti i risultati ottenuti in quel modo. Quindi per ottenere il coefficiente del termine di primo grado della $b$ bisogna "scegliere" $b$ da una sola parentesi e $1$ da tutte le altre parentesi. Ma i modi in cui posso scegliere $b$ sono $n$ quindi il termine di primo grado avrà coefficiente $n$ pertanto compare $nb$. Ora prendendo $1$ da tutte le parentesi si ottiene come risultato $1$ quindi compare anche $1$. Di conseguenza $(b+1)^n \geq nb+1$
Quindi lui in teoria dovrebbe rientrare proprio nell'anno della riforma credo... boh
E comunque non è mai troppo presto per imparare l'induzione, anzi forse andrebbe fatta pure prima del quarto liceo...Volendo come alternativa c'è lo sviluppo binomiale:
con $b=a-1$ la tesi diventa $(b+1)^n \geq nb+1$
Sviluppando $(b+1)^n$ tra tutti i termini compare sicuramente $nb$ e anche $1$.
Questo però è rognoso da spiegare bene in modo discorsivo....
Si può scrivere $(b+1)^n$ come $(b+1)(b+1)(b+1)...(b+1)$ $n$ volte.
Ora si può considerare che per svolgere quel prodotto dentro ogni parentesi tonda si prende in considerazione un solo addendo alla volta e si moltiplicano tutti i valori scelti all'interno di ogni parentesi tra di loro. Alla fine si sommano tutti i risultati ottenuti in quel modo. Quindi per ottenere il coefficiente del termine di primo grado della $b$ bisogna "scegliere" $b$ da una sola parentesi e $1$ da tutte le altre parentesi. Ma i modi in cui posso scegliere $b$ sono $n$ quindi il termine di primo grado avrà coefficiente $n$ pertanto compare $nb$. Ora prendendo $1$ da tutte le parentesi si ottiene come risultato $1$ quindi compare anche $1$. Di conseguenza $(b+1)^n \geq nb+1$
"xXStephXx":
Volendo come alternativa c'è lo sviluppo binomiale:
con $b=a-1$ la tesi diventa $(b+1)^n \geq nb+1$
Sviluppando $(b+1)^n$ tra tutti i termini compare sicuramente $nb$ e anche $1$.
Di conseguenza $(b+1)^n \geq nb+1$
E non dimostri che il resto dei termini dia somma maggiore o uguale a zero?
In effetti davo per scontato che $b$ è positivo Non mi era mai capitato di usarla con $b$ negativo...
Boh forse si aggiusta con qualche considerazione... o forse....... ....... è meglio l'induzione!
Non mi era mai capitato di usarla con $b$ negativo...Boh forse si aggiusta con qualche considerazione... o forse....... ....... è meglio l'induzione!
Come detto da zero87 frequento il IV superiore, ho letto un po in giro e l'induzione dovrebbe essere programma di quest'anno, anche se non ho ancora il libro di matematica, perciò non posso confermare. A dire la verità, da quando è stata fatta la riforma (in cui mi trovo), i ritmi nelle scuole si sono un pò agitati, e dal primo ho già cambiato 3 professori di matematica. Ciò causa che spesso si saltano intere parti di programma oppure si fanno velocemente per far "quadrare le carte", ad esempio non abbiamo mai fatto statistica e probabilità anche se occupano un bel "pezzo" di libro...
detto ciò, tornando alla dimostrazione, oggi il professore ce l'ha spiegata in maniera rapida, e, a dire la verità, non credo di aver capito tutto... provo a scrivere i passaggi che ricordo così magari potete aiutarmi
:
praticamente partendo da:
$a^n>n(a-1)+1$
e poi:
$a^n-1>n(a-1)$
tramite dei passaggi che coinvolgono in qualche modo Ruffini il prof. è arrivato a:
$(a^(n-1)+a^(n-2)...+1)>n$
La cosa che non ho capito è "tramite dei passaggi che coinvolgono in qualche modo Ruffini"
Ecco...
P.s.
ho dimenticato di dire che, per semplificare le cose, abbiamo considerato $a>1$ e $n>1$
detto ciò, tornando alla dimostrazione, oggi il professore ce l'ha spiegata in maniera rapida, e, a dire la verità, non credo di aver capito tutto... provo a scrivere i passaggi che ricordo così magari potete aiutarmi
:praticamente partendo da:
$a^n>n(a-1)+1$
e poi:
$a^n-1>n(a-1)$
tramite dei passaggi che coinvolgono in qualche modo Ruffini il prof. è arrivato a:
$(a^(n-1)+a^(n-2)...+1)>n$
La cosa che non ho capito è "tramite dei passaggi che coinvolgono in qualche modo Ruffini"
Ecco...
P.s.
ho dimenticato di dire che, per semplificare le cose, abbiamo considerato $a>1$ e $n>1$
"gianpierovignola":
$a^n-1>n(a-1)$
tramite dei passaggi che coinvolgono in qualche modo Ruffini il prof. è arrivato a:
$(a^(n-1)+a^(n-2)...+1)>n$
Più che Ruffini, si tratta della scomposizione di $a^n-1$ che è una cosa che in genere fanno imparare "quasi" a memoria...
Qui non posso aiutarti perché questa scomposizione l'ho imparata "al contrario", in pratica
$(a-1)(a^(n-1)+a(n-2)+...+a+1)=a^n+a^(n-1)+a^(n-2)+...+a^2+a-a^(n-1)-a^(n-2)-...-a^2-a-1=a^n-1$
Se sapessi come si fa con il Latex a sbarrare i termini che si semplificano lo farei pure, tra l'altro.
Anticipo solo che questa scomposizione è alla base di (quasi) tutto quello che si fa nelle serie geometriche.
Ma ora torniamo a noi: come puoi vedere
$a^(n-1)+a^(n-2)+...+a+1$
è composto da $n$ termini di grado minore a $n$ ma l'importante è sapere che ci sono $n$ termini.
Siccome $a>1$ allora $a^k>1$ per $k$ che va da $1$ a $n-1$ quindi $n-1$ termini possono essere maggiorati con $n-1$ (in quanto ognuno è maggiore di $1$.
Detto meglio
$a^(n-1)>1$
$a^(n-2)>1$
...
$a>1$
dunque
$a^(n-1)+a^(n-2)+...+a+1>1+1+...+1+1=n$
Spero che si è capito quanto detto ma mi spiace perché non riesco ad essere più chiaro di così. Non è ragionamento da scuole secondarie minorare e maggiorare, ma non mi viene qualcosa di più facile.
Chiarissimo, Grazie mille
Ma il termine generico a è sempre positivo? se si allora si può dimostrare facilmente con induzione
Allora
a^n >= n(a-1) +1
a^n -1 >= n(a-1)
Base dell'induzione n=1
a-1>= a-1
a-1=a-1 dimostrato per n=1
dimostriamo per n+1
a^(n+1)-1>= (n+1)(a-1)
a*a^n -1>= an-n +a -1
a*a^n >= an -n +a
a*a^n>= n(a-1) +a
a*a^n -a >= n(a-1)
ma noi sappiamo per base di induzione che : a^n-1>=n(a-1)
dunque se si dimostra che a*a^n -a >= a^n-1 la cosa è fatta
infatti :
a*a^n -a >= a^n-1
a*a^n-a^n >= a-1
a^n(a-1)>= a-1
a^n>=1
ma se a è maggiore di 1 allora basta che n sia maggiore di 0, e la disuguaglianza è verificata
Allora
a^n >= n(a-1) +1
a^n -1 >= n(a-1)
Base dell'induzione n=1
a-1>= a-1
a-1=a-1 dimostrato per n=1
dimostriamo per n+1
a^(n+1)-1>= (n+1)(a-1)
a*a^n -1>= an-n +a -1
a*a^n >= an -n +a
a*a^n>= n(a-1) +a
a*a^n -a >= n(a-1)
ma noi sappiamo per base di induzione che : a^n-1>=n(a-1)
dunque se si dimostra che a*a^n -a >= a^n-1 la cosa è fatta
infatti :
a*a^n -a >= a^n-1
a*a^n-a^n >= a-1
a^n(a-1)>= a-1
a^n>=1
ma se a è maggiore di 1 allora basta che n sia maggiore di 0, e la disuguaglianza è verificata
"Vulplasir":
Ma il termine generico a è sempre positivo? se si allora si può dimostrare facilmente con induzione
In generale si dimostra per induzione con $a\ge -1$ se non ricordo male. Poi ho tralasciato l'induzione - oltre al fatto che $a>1$ nel caso di giampierovignola - per un semplice motivo che avevo esposto in precedenza
"Zero87":
[quote="xXStephXx"]Prova qui http://it.wikipedia.org/wiki/Disuguagli ... _Bernoulli
Se non ricordo male giampierovignola è al quarto superiore - ricordo molte discussioni con lui sui numeri primi
- e non so se sappia l'induzione.[ot]Io non l'ho mai fatta (erano altri tempi, comincio a diventà vecchio forte
) e so che ora, invece, al liceo è nel programma anche se non ho idea di quando e come...[/ot][/quote]E a questa domanda ho ricevuto una risposta (credo) positiva
"gianpierovignola":
Come detto da zero87 frequento il IV superiore, ho letto un po in giro e l'induzione dovrebbe essere programma di quest'anno, anche se non ho ancora il libro di matematica, perciò non posso confermare.
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