Determinare al variare di gamma quante soluzioni ci sono
salve a tutti volevo sapere come trovare il numero di soluzioni per le equazioni seguenti:
ii) |3-x^4|=gamma
iii) x+log(x)=gamma
ci sono anche le soluzioni ma non riesco a capire comunque grazie
ii) |3-x^4|=gamma
iii) x+log(x)=gamma
ci sono anche le soluzioni ma non riesco a capire comunque grazie
Risposte
Domande come questa stanno meglio in Secondaria II grado; la prossima volta, posta là.
Comincio poi col consigliarti di mettere il segno del dollaro all'inizio ed alla fine di ogni formula; così facendo il tuo |3-x^4|=gamma diventa $|3-x^4|=gamma$, più leggibile.
E vedi bene che la lettera del testo non è gamma; il suo nome è lambda. In quanto segue, continuo però ad usare gamma, un po' più breve da digitare.
Passo ora alle soluzioni, cominciando col secondo perché è il più rapido.
iii) All'aumentare di $x$, aumenta anche $log(x)$ e quindi aumenta la loro somma, che varia da $-oo$ (quando $x->0^+$) a $+oo$ (quando $x->+oo$); perciò ogni retta del tipo $y=gamma$ incontra una sola volta la curva $y=x+log(x)$ e c'è sempre una sola soluzione.
ii) Puoi usare un ragionamento dello stesso tipo, cercando le intersezioni fra la $y=|3-x^4|$ e la $y=gamma$; dato il modo in cui è scritta la soluzione, preferisco però un altro ragionamento. Comincia a distinguere a seconda del segno di $gamma$, ottenedo i tre casi A, B, C.
A: $gamma<0$) Impossibile perché un valore assoluto non può essere negativo; 0 soluzioni.
B: $gamma=0$) L'equazione diventa $3-x^4=0$, che ha due soluzioni reali.
C: $gamma>0$) L'equazione diventa $3-x^4=+-gamma$, cioè ne origina altre due. Quella col meno è facile perché dà $x^4=3+gamma$, che ha sempre due soluzioni reali, dato che siamo nel caso C, in cui il secondo membro è sempre positivo. A queste due soluzioni devi aggiungere quelle col più; lì ottieni $x^4=3-gamma$ ed occorre considerare il segno del secondo membro, che deve essere positivo o nullo. Ora continua tu.
Comincio poi col consigliarti di mettere il segno del dollaro all'inizio ed alla fine di ogni formula; così facendo il tuo |3-x^4|=gamma diventa $|3-x^4|=gamma$, più leggibile.
E vedi bene che la lettera del testo non è gamma; il suo nome è lambda. In quanto segue, continuo però ad usare gamma, un po' più breve da digitare.
Passo ora alle soluzioni, cominciando col secondo perché è il più rapido.
iii) All'aumentare di $x$, aumenta anche $log(x)$ e quindi aumenta la loro somma, che varia da $-oo$ (quando $x->0^+$) a $+oo$ (quando $x->+oo$); perciò ogni retta del tipo $y=gamma$ incontra una sola volta la curva $y=x+log(x)$ e c'è sempre una sola soluzione.
ii) Puoi usare un ragionamento dello stesso tipo, cercando le intersezioni fra la $y=|3-x^4|$ e la $y=gamma$; dato il modo in cui è scritta la soluzione, preferisco però un altro ragionamento. Comincia a distinguere a seconda del segno di $gamma$, ottenedo i tre casi A, B, C.
A: $gamma<0$) Impossibile perché un valore assoluto non può essere negativo; 0 soluzioni.
B: $gamma=0$) L'equazione diventa $3-x^4=0$, che ha due soluzioni reali.
C: $gamma>0$) L'equazione diventa $3-x^4=+-gamma$, cioè ne origina altre due. Quella col meno è facile perché dà $x^4=3+gamma$, che ha sempre due soluzioni reali, dato che siamo nel caso C, in cui il secondo membro è sempre positivo. A queste due soluzioni devi aggiungere quelle col più; lì ottieni $x^4=3-gamma$ ed occorre considerare il segno del secondo membro, che deve essere positivo o nullo. Ora continua tu.
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