Determinante $4 xx 4$

[axpgn]

Sia $M$ una matrice $4 xx 4$, tale che ogni elemento sia pari a $2$ o a $-1$ (in pratica una qualsiasi "mescola" di $2$ e/o $-1$ a piacere ).
Sia $d$ il determinante di $M$; chiaramente $d$ è un intero.
Dimostrare che $d$ è divisibile per $27$.

[orsoulx]

Si può dimostrare, per induzione, che il determinante di qualsiasi matrice quadrata di ordine $ n $ (con $ n>1 $), i cui elementi appartengano ad una progressione aritmetica di ragione $ r $, è multiplo di $ r^(n-1) $. Il quesito proposto è un caso particolare con $ n=4 " e " r=3 $

Ciao

[axpgn]

Bentornato

Non avresti una soluzione "terra-terra" per noi mortali ?

Cordialmente, Alex

P.S.: Riflettendoci, la soluzione "terra-terra" che ho, in pratica, è una dimostrazione di quella proprietà (e se non mi sbaglio, non mi serve neppure l'induzione)

[orsoulx]

Alex:
hai ragione. Si possono dimostrare (tanto il caso particolare, quanto quello generalizzato) anche in quest'altro modo:

Sottraendo una linea a scelta da tutte quelle parallele il determinante non cambia e, dopo la sottrazione, tutte gli elementi che non appartengono alla tale linea sono multipli di $ r $. Quindi ciascun addendo dello sviluppo completo del determinante, contenendo $ n-1$ fattori multipli di $ r $, sarà multiplo di $ r^(n-1) $ e tale risulterà anche la somma.

Leggendo il problema ho notato immediatamente l'altro percorso che, supponendo non sia "terra-terra", vola a bassa quota.
Ciao

[axpgn]

"orsoulx":… vola a bassa quota.

Per i tuoi parametri, che sono ad altezza ISS

La mia è ancora un pochino più "bassa" (dato che usa il caso particolare)

Sottraggo la prima riga dalle altre tre; il determinante non cambia ma i termini possibili sono solo questi $3, 0, -3$ quindi divisibili per tre; ed infatti divido le tre righe per tre perciò il determinante originale è $3^3$ volte il determinante di quest'ultima matrice (che è anch'esso intero).

La proprietà che hai citato non mi pare tanto ovvia (a priori, ovviamente): l'hai trovata ora o la conoscevi già?
Così per curiosità ...

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

@Alex:
non la conoscevo e, per la generalizzazione, mi ha aiutato il percorso con cui ho trovato la soluzione del tuo quesito.

La proprietà è banalmente vera per $ n=1 $: ogni intero è multiplo di $ r^(1-1)=1 $.
Supposto la proprietà vera per un dato $ n $, per dimostrare che risulterà vera anche per $ n+1$ basta sottrarre da una linea qualsivoglia una linea ad essa parallela (operazione che non modifica il valore del determinante): tutte le differenze saranno multiple di $ r $, mentre il complemento algebrico di ciascun termine è, per l'ipotesi induttiva, multiplo di $ r^(n-1) $; quindi ogni addendo dello sviluppo di Laplace del determinante secondo quella linea risulta multiplo di $ r^(n-1) * r= r^n$ e tale sarà pertanto anche la somma.

Ciao