Derivata sì, o derivata no!

[VincenzoA,1]

Ho serie difficoltà a risolvere questo esercizio.

Nel primo quadrante di un piano cartesiano siano dati i punti $P -= (a,b)$ e $Q -= (c,d)$, $(c > a, b != d)$. Determinare il punto$R$ sull'asse delle ascisse tale che $\bar(PR) + \bar(RQ)$ sia minima.

Senza pensarci su, ho espresso $\bar(PR) + \bar(RQ)$ come funzione, di cui ho poi calcolato la derivata prima. Avevo intenzione di studiare la derivata prima in modo da trovare i punti di massimo e minimo. Purtroppo questa strada è evidentemente artificiosa e forse non porta neanche alla soluzione...
Quindi vi chiedo, qual è la strada giusta?

[j18eos]

"VincenzoA,":...qual è la strada giusta?

Quella che stavi percorrendo!

Oppure puoi utilizzare la diseguaglianza triangolare o teorema sulle lunghezze dei lati di un triangolo...

[@melia]

Credo che la via migliore sia quella di trovare il simmetrico di Q rispetto all'asse delle x, che avrà coordinate $(c, -d)$, il punto R cercato è l'intersezione della retta PQ' con l'asse delle x, infatti la distanza minore tra 2 punti è la retta che li unisce e il segmento QR è congruente al segmento Q'R.

[VincenzoA,1]

"j18eos":Oppure puoi utilizzare la diseguaglianza triangolare o teorema sulle lunghezze dei lati di un triangolo...

Ti riferisci al metodo risolutivo esposto da @melia, no? O ne esiste un terzo?

Comunque sono riuscito a risolverlo sia studiando la derivata prima, sia considerando $R$ come intersezione tra l'asse delle ascisse e il segmento $bar(PQ')$ ( $Q'$ simmetrico rispetto l'asse x di $Q$). La soluzione è $R -= ((ad + bc)/(d+b), 0)$. È necessario che trascrivi il procedimento?

Grazie mille per l'aiuto!

[j18eos]

"VincenzoA,":...È necessario che trascrivi il procedimento?...

Direi di sì!

Mi riferivo al teorema seguente:

In un triangolo, la somma delle lunghezze di due lati è sempre maggiore della lunghezza del terzo lato

ma mi sa che ti fornisce solo una condizione necessaria!

[giammaria2]

Piccola precisazione: le soluzioni finora date valgono nell'ipotesi che $b,d$ abbiano lo stesso segno. Se hanno segno opposto $R$ è l'intersezione di $PQ$ con l'asse $x$ e si ha $R((ad-bc)/(d-b),0)$.
Quanto a risolvere con l'analisi, la vedo dura perché la disequazione $f'(x)>0$ è decisamente ostica. La corrispondente equazione è facile, ma per sapere se le soluzioni corrispondono a massimi o minimi occorrerebbe la derivata seconda, lunghetta da calcolare; anche la verifica dell'accettabilità delle soluzioni non è immediata. A meno che VincenzoA abbia trovato qualche furbata.

[VincenzoA,1]

So a quale teorema ti riferivi j18eos, ma in qualunque modo io lo girassi, non riuscivo a impostare il problema. Ho poi ricordato che una conseguenza della disuguaglianza triangolare è che la distanza minima tra due punti è il segmento rettilineo che li congiunge...

"giammaria":Piccola precisazione: le soluzioni finora date valgono nell'ipotesi che $b,d$ abbiano lo stesso segno. Se hanno segno opposto...

Ma il testo precisa che i punti $P$ e $Q$ si trovano nel primo quadrante. Quindi è possibile escludere a monte il caso in cui $b$ e $d$ hanno segno opposto.

Riporto di seguito il procedimento risolutivo attraverso l'analisi:
$f(x) = sqrt((x - a)^2 + b^2) + sqrt((x - c)^2 + d^2)$

$f'(x) = ((x - a)sqrt((x - c)^2 + d^2) + (x - c)sqrt((x - a)^2 + b^2))/sqrt([(x - a)^2 + b^2][(x - c)^2 + d^2]$

• $f'(x) = 0$

$(x - a)sqrt((x - c)^2 + d^2) + (x - c)sqrt((x - a)^2 + b^2) = 0$

Osservo che $(x - c)$ è una quantità negativa, quindi...
$(x - a)sqrt((x - c)^2 + d^2) - (c - x)sqrt((x - a)^2 + b^2) = 0$

$(x - a)^2(x - c)^2 + d^2(x - a)^2 = (c - x)^2(x - a)^2 + b^2(c - x)^2$

$d^2(x - a)^2 = b^2(c - x)^2$

$(d^2 - b^2)x^2 - 2(ad^2 - cb^2)x + a^2d^2 - c^2b^2 = 0$

$x_1 = (ad + bc)/(d + b)$ e $x_2 = (ad - bc)/(d - b)$

• $f'(x) > 0$

- $N > 0 rarr (x - a)sqrt((x - c)^2 + d^2) + (x - c)sqrt((x - a)^2 + b^2) > 0$
$x < (ad - bc)/(d - b) vv x > (ad + bc)/(d + b)$

- $D > 0 rarr AA x in R$
Con $R$ intendo l'insieme dei numeri reali.

Quindi $x = (ad + bc)/(d + b)$ è punto di minimo relativo, poiché alla sua sinistra la derivata decresce e alla sua destra cresce.
Scusami giammaria, ma perché dovrei calcolare la derivata seconda? Lo studio della derivata prima di una funzione è criterio sufficiente per la determinazione dei punti di massimo e minimo.
Cosa dovrei fare per verificare l'accettabilità della soluzione trovata, oltre al confronto col dominio?

[giammaria2]

"VincenzoA,":Osservo che $(x - c)$ è una quantità negativa, quindi...

Il buon senso dice che $a Non potendo elevare a quadrato diventa difficile risolvere la $f'(x)>0$ e per questo pensavo al metodo delle derivate successive e parlavo di calcolare la derivata seconda.
Per quanto riguarda il segno delle lettere, hai ragione ed ho sbagliato: mi era sfuggita la precisazione "nel primo quadrante".

[@melia]

"giammaria":Piccola precisazione: le soluzioni finora date valgono nell'ipotesi che $b,d$ abbiano lo stesso segno.

Il testo dice "Presi due punti del primo quadrante...", non ho dubbi sul segno dell'ordinata ...

[VincenzoA,1]

"giammaria":Il buon senso dice che $a
Eppure è abbastanza palese che è superfluo ricercare il punto $R$ oltre l'intervallo $(a, c)$. Se prendessi i punti $R$, interno all'intervallo $(a, c)$, e $R'$, esterno allo stesso intervallo, sull'asse delle ascisse tali che $PR ~= PR'$, mi accorgo subito che $QR' > QR$. E ciò vale anche prendendo in considerazione $Q$. Insomma, per ogni punto esterno all'intervallo $(a, c)$, ne esiste sempre uno interno, per cui uno dei due segmenti si "accorcia". Spero di essere stato abbastanza chiaro

[giammaria2]

Sì, è palese; se però cerchi di dimostrarlo veramente, non è così facile. Devi basarti anche sulla geometria, e se usiamo quest'ultima è meglio seguire il suggerimento di @melia.