$d_3^2+d_4^2= 2n+1$
Sia $n$ un intero positivo.
Siano $1=d_1< d_2<...
Ad esempio: $n=18 => {(d_1=1),( d_2= 2), (d_3=3), (d_4=6), (d_5=9), (d_6=18):}$ non va bene perchè $d_3^2+d_4^2=45$ mentre $2n+1=37$
Siano $1=d_1< d_2<...
Ad esempio: $n=18 => {(d_1=1),( d_2= 2), (d_3=3), (d_4=6), (d_5=9), (d_6=18):}$ non va bene perchè $d_3^2+d_4^2=45$ mentre $2n+1=37$
Risposte
Va bene questo?
o intendevi altro?
Cordialmente, Alex
o intendevi altro?
Cordialmente, Alex
Sì, quello va bene.
Specifico meglio la richiesta: trovare tutti e soli gli $n$ con tale proprietà.
Specifico meglio la richiesta: trovare tutti e soli gli $n$ con tale proprietà.
Mi pareva ... 
Cmq, anche il secondo della lista va bene cioè ...
Cmq, anche il secondo della lista va bene cioè ...
... che strano ...
Ciao
"axpgn":
... anche il secondo della lista va bene
che lista?@orsoulx: vorrei il procedimento
"Gi8":
che lista?
Quella che mi sono fatto ...
Sembra che siano tutti divisibili almeno per quattro oppure solo per due ...
Il procedimento preciso non lo so, posso solo fare delle congetture ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Basterebbe indicarlo nel testo. Allora:
Ciao
Allora:Ciao
"orsoulx":
Basterebbe indicarlo nel testo.
Con tutto il rispetto, ma che senso ha mettere solo la soluzione finale? La cosa più interessante che c'è nel risolvere un problema è il modo con cui lo si risolve.Tra l'altro, scrivendo solo "12 o 20" non mi permetti di capire se hai risolto per intero l'esercizio o se hai solo fatto alcune prove e ti sono saltate fuori due soluzioni.
Un po' più di educazione, per favore.
"Gi8":
... La cosa più interessante che c'è nel risolvere un problema è il modo con cui lo si risolve. ...
Alessandro Magno non sarebbe d'accordo
Cordialmente, Alex
$ d_3^2+d_4^2= 2n+1 $
Quando mi pongono una domanda ritengo corretto rispondere nel modo più prossimo possibile al suo significato letterale.
A: "Quanto può valere n?"; rispondo con tutti e soli i valori accettabili di n, a mio avviso, esistenti.
Le chiedo scusa se, involontariamente, ho suscitato impressioni errate. Non intendevo mancarle di rispetto.
Qualora esistano delle gerarchie a cui le relazioni interpersonali debbano sottostare la prego di comunicarmelo esplicitamente.
Cordialmente
"Gi8":
Con tutto il rispetto, ma che senso ha mettere solo la soluzione finale?
Quando mi pongono una domanda ritengo corretto rispondere nel modo più prossimo possibile al suo significato letterale.
A: "Quanto può valere n?"; rispondo con tutti e soli i valori accettabili di n, a mio avviso, esistenti.
"Gi8":
Un po' più di educazione, per favore.
Le chiedo scusa se, involontariamente, ho suscitato impressioni errate. Non intendevo mancarle di rispetto.
Qualora esistano delle gerarchie a cui le relazioni interpersonali debbano sottostare la prego di comunicarmelo esplicitamente.
Cordialmente
Cioè, uno pone un problema e tu dai la risposta mettendo solo il risultato finale.
Che contributo dai alla discussione? Ricordo che siamo nella sezione "Scervelliamoci un po' "
Per quanto ne so, potresti avere cercato su internet la soluzione del problema per poi ricopiarla qui,
oppure potresti avere fatto solo qualche tentativo (tipo fino a $n=30$).
Se non illustri il procedimento, quella soluzione per me è incompleta.
Ma forse sbaglio io.
PS: non darmi del lei, qui sul forum ci si dà del tu
Che contributo dai alla discussione? Ricordo che siamo nella sezione "Scervelliamoci un po' "
Per quanto ne so, potresti avere cercato su internet la soluzione del problema per poi ricopiarla qui,
oppure potresti avere fatto solo qualche tentativo (tipo fino a $n=30$).
Se non illustri il procedimento, quella soluzione per me è incompleta.
Ma forse sbaglio io.
PS: non darmi del lei, qui sul forum ci si dà del tu
Va bene. La pensiamo diversamente, ma questo non è un problema. Quando e se avrò ancora voglia di rispondere ad un tuo problema indicherò anche il procedimento adottato.
Ciao e grazie
Ciao e grazie
Riassumendo, occorre trovare i numeri interi $n$ (e – secondo chi ha proposto il quiz – spiegare come) che abbiano almeno 4 divisori – diciamoli in ordine crescente $d_1$, $d_2$, $d_3$ e $d_4$ – tali che risulti:
$d_3^2 + d_4^2 = 2n+1$. (*)
Discussione
E' sempre $d_1 = 1$.
$d_3$ e $d_4$ devono per forza essere uno pari e uno dispari dato che $2n+1$ è dispari.
Allora il $d_2 = 2$ e quindi $d_3 > 2$ $^^$ $d_4 > d_3$.
a) Supponiamo che $d_3$ e $d_4$ siano due numeri consecutivi, cioè
$d_4 - d_3 = 1$. (**)
Elevando al quadrato i membri di questa uguaglianza si trova:
$d_4^2 + d_3^2 - 2 d_4d_3 = 1 =>2n+1 -2d_4d_3 = 1 => d_3d_4 = n$.
In tal caso il numero $n$ deve essere divisibile per 4 se no $d_3$ e $d_4$ non potrebbero essere consecutivi.
Ma allora o $d_3$ o $d_4$ è proprio 4.
Il numero $n$ potrebbe essere divisibile per 3 e allora
$d_3 = 3$, $d_4 = 4$, $d_3d_4 = n = 12$.
Oppure non essere divisibile per 3 e allora, dovendo essere $d_4 = d_3 + 1$:
$d_3 = 4$, $d_4 = 5$, $d_3d_4 = n = 20$.
b) Supponiamo che $n$ sia divisibile per 4 – e allora sia $p = n/4$ – ma non per 3 né per 5.
Allora è $d_3 = 4$, $n = 4*p$ e dovrebbe essere
$d_4 = 5 + 2∆$,
con ∆ intero positivo.
Abbiamo quindi:
$4^2 + (5 + 2∆)^2 = 2n + 1 = 2·(4p) + 1 => 16 + 25 + 20∆ + 4∆^2 = 8p + 1 =>$
$ => p = 5 + 2∆ + (∆(∆+1))/2 = d_4 + (∆(∆+1))/2$.
Ora $p$ dovrebbe essere divisibile per $d_4$, e quindi o $∆$ o $∆+1$ dovrebbe essere divisibile per $d_4 = 5 + 2∆$: cosa impossibile essendo $d_4$ maggiore sia di $∆$ che di $∆+1$.
Pertanto, da a) e b) viene che se $n$ è divisibile per 4, $n$ è soluzione del quiz solo se vale 12 o se vale 20.
[In entrambi i casi i divisori $d_3$ e $d_4$ sono interi consecutivi].
c) Supponiamo che $n$ non sia divisibile per 4 (e quindi che $d_3$ e $d_4$ non siano interi consecutivi).
$d_3$ dovrebbe comunque essere il più piccolo primo dispari divisore di $n$, diciamolo $p$. Ma allora $d_4$, dovendo essere pari, dovrebbe essere per forza $2d_3 = 2p$,
Si avrebbe allora $d_3^2 + d_4^2 = p^2 + 4p^2 = 5p^2 = 2n+1 => 2n = 5p^2 –1$, che non va bene perché $n$ dovrebbe essere divisibile per $p$ ed invece la divisione di $2n = 5p^2-1$ per $p$ dà per resto $p-1$.
In conclusione, le uniche soluzioni sono $n = 12$ e $n = 20$.
_______
$d_3^2 + d_4^2 = 2n+1$. (*)
Discussione
E' sempre $d_1 = 1$.
$d_3$ e $d_4$ devono per forza essere uno pari e uno dispari dato che $2n+1$ è dispari.
Allora il $d_2 = 2$ e quindi $d_3 > 2$ $^^$ $d_4 > d_3$.
a) Supponiamo che $d_3$ e $d_4$ siano due numeri consecutivi, cioè
$d_4 - d_3 = 1$. (**)
Elevando al quadrato i membri di questa uguaglianza si trova:
$d_4^2 + d_3^2 - 2 d_4d_3 = 1 =>2n+1 -2d_4d_3 = 1 => d_3d_4 = n$.
In tal caso il numero $n$ deve essere divisibile per 4 se no $d_3$ e $d_4$ non potrebbero essere consecutivi.
Ma allora o $d_3$ o $d_4$ è proprio 4.
Il numero $n$ potrebbe essere divisibile per 3 e allora
$d_3 = 3$, $d_4 = 4$, $d_3d_4 = n = 12$.
Oppure non essere divisibile per 3 e allora, dovendo essere $d_4 = d_3 + 1$:
$d_3 = 4$, $d_4 = 5$, $d_3d_4 = n = 20$.
b) Supponiamo che $n$ sia divisibile per 4 – e allora sia $p = n/4$ – ma non per 3 né per 5.
Allora è $d_3 = 4$, $n = 4*p$ e dovrebbe essere
$d_4 = 5 + 2∆$,
con ∆ intero positivo.
Abbiamo quindi:
$4^2 + (5 + 2∆)^2 = 2n + 1 = 2·(4p) + 1 => 16 + 25 + 20∆ + 4∆^2 = 8p + 1 =>$
$ => p = 5 + 2∆ + (∆(∆+1))/2 = d_4 + (∆(∆+1))/2$.
Ora $p$ dovrebbe essere divisibile per $d_4$, e quindi o $∆$ o $∆+1$ dovrebbe essere divisibile per $d_4 = 5 + 2∆$: cosa impossibile essendo $d_4$ maggiore sia di $∆$ che di $∆+1$.
Pertanto, da a) e b) viene che se $n$ è divisibile per 4, $n$ è soluzione del quiz solo se vale 12 o se vale 20.
[In entrambi i casi i divisori $d_3$ e $d_4$ sono interi consecutivi].
c) Supponiamo che $n$ non sia divisibile per 4 (e quindi che $d_3$ e $d_4$ non siano interi consecutivi).
$d_3$ dovrebbe comunque essere il più piccolo primo dispari divisore di $n$, diciamolo $p$. Ma allora $d_4$, dovendo essere pari, dovrebbe essere per forza $2d_3 = 2p$,
Si avrebbe allora $d_3^2 + d_4^2 = p^2 + 4p^2 = 5p^2 = 2n+1 => 2n = 5p^2 –1$, che non va bene perché $n$ dovrebbe essere divisibile per $p$ ed invece la divisione di $2n = 5p^2-1$ per $p$ dà per resto $p-1$.
In conclusione, le uniche soluzioni sono $n = 12$ e $n = 20$.
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