Curve Polinomiali "Piccole"
Informazione: In realtà, si tratta di un risultato di geometria algebrica classica del piano (reale)!
§§§
Sia \(\displaystyle f\in\mathbb{R}[x,y]\) un polinomio a coefficienti reali nelle indeterminate \(\displaystyle x\) e \(\displaystyle y\) e si definisca:
\[
D(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid f(x,y)\neq0\}
\]
ovvero, \(\displaystyle D(f)\) è l'insieme delle coppie di numeri reali in cui non si annulla il polinomio \(\displaystyle f\), o in altre parole è l'insieme dei punti del piano reale non appartenenti alla curva (piana) determinata dall'equazione polinomiale \(\displaystyle f(x,y)=0\).
Esercizio: Se \(\displaystyle f\) non è il polinomio nullo, dimostrare che \(\displaystyle D(f)\) è sempre un sottoinsieme infinito e non vuoto di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\); cioè:
\[
\emptyset\neq D(f)\subseteq\mathbb{R}^2.
\]
Esempio: \(\displaystyle f(x,y)=x^2+y^2+1,\,D(f)=\mathbb{R}^2\)!
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Nota: Il risultato non è banale in sé, e nemmeno la dimostrazione (che io conosco) non è banale seppur facile, almeno così penso.
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Sia \(\displaystyle f\in\mathbb{R}[x,y]\) un polinomio a coefficienti reali nelle indeterminate \(\displaystyle x\) e \(\displaystyle y\) e si definisca:
\[
D(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid f(x,y)\neq0\}
\]
ovvero, \(\displaystyle D(f)\) è l'insieme delle coppie di numeri reali in cui non si annulla il polinomio \(\displaystyle f\), o in altre parole è l'insieme dei punti del piano reale non appartenenti alla curva (piana) determinata dall'equazione polinomiale \(\displaystyle f(x,y)=0\).
Esercizio: Se \(\displaystyle f\) non è il polinomio nullo, dimostrare che \(\displaystyle D(f)\) è sempre un sottoinsieme infinito e non vuoto di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\); cioè:
\[
\emptyset\neq D(f)\subseteq\mathbb{R}^2.
\]
Esempio: \(\displaystyle f(x,y)=x^2+y^2+1,\,D(f)=\mathbb{R}^2\)!
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Nota: Il risultato non è banale in sé, e nemmeno la dimostrazione (che io conosco) non è banale seppur facile, almeno così penso.
Risposte
Qualcun* in privato mi ha fatto notare che l'esercizio sembra banale: OK!
Dimostrazione incompleta: preso un punto \(\displaystyle P\) non appartenente a una data curva polinomiale \(\displaystyle\Gamma\), basta considerare un cerchio aperto (alias un cerchio senza il suo bordo) di centro \(\displaystyle P\) di raggio \(\displaystyle r>0\) disgiunto da \(\displaystyle\Gamma\) e si ha l'asserto. \(\displaystyle\text{Q.E.D.}\Box\)
Domanda idiota: perché esiste quel punto \(\displaystyle P\)?
Domanda non banale: perché esiste \(\displaystyle r>0\) tale che si può concludere la dimostrazione?
Lo studente che conosce un pò i numeri complessi, si accorgerà che lo stesso esercizio può essere fatto coi polinomi a coefficienti complessi la cui curva polinomiale sia in \(\displaystyle\mathbb{C}^2\). A questo punto sorgerebbe spontanea la domanda: ma perché parlare di curve polinomiali e non continue?
Risposta: l'esercizio è vero anche se si considerano i polinomi a coefficienti razionali e si studiano le curve polinomiali in \(\displaystyle\mathbb{Q}^2\)!
Sfida: Trovare una soluzione allo stesso problema che valga per i polinomi a coefficienti in \(\displaystyle\mathbb{Q},\mathbb{R}\) e \(\displaystyle\mathbb{C}\)!
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Ho scritto di corsa, se non sono stato chiaro basta chiedere!
Dimostrazione incompleta: preso un punto \(\displaystyle P\) non appartenente a una data curva polinomiale \(\displaystyle\Gamma\), basta considerare un cerchio aperto (alias un cerchio senza il suo bordo) di centro \(\displaystyle P\) di raggio \(\displaystyle r>0\) disgiunto da \(\displaystyle\Gamma\) e si ha l'asserto. \(\displaystyle\text{Q.E.D.}\Box\)
Domanda idiota: perché esiste quel punto \(\displaystyle P\)?
Domanda non banale: perché esiste \(\displaystyle r>0\) tale che si può concludere la dimostrazione?
Lo studente che conosce un pò i numeri complessi, si accorgerà che lo stesso esercizio può essere fatto coi polinomi a coefficienti complessi la cui curva polinomiale sia in \(\displaystyle\mathbb{C}^2\). A questo punto sorgerebbe spontanea la domanda: ma perché parlare di curve polinomiali e non continue?
Risposta: l'esercizio è vero anche se si considerano i polinomi a coefficienti razionali e si studiano le curve polinomiali in \(\displaystyle\mathbb{Q}^2\)!
Sfida: Trovare una soluzione allo stesso problema che valga per i polinomi a coefficienti in \(\displaystyle\mathbb{Q},\mathbb{R}\) e \(\displaystyle\mathbb{C}\)!
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Ho scritto di corsa, se non sono stato chiaro basta chiedere!
Forse non ho capito, perchè apparentemente non so dove usare quella cosa del cerchio aperto di raggio $r$.
Un polinomio in due variabili si annulla al più un numero finito di volte lungo qualsiasi retta giusto? Quindi tutti gli altri infiniti punti di quella retta sono punti in cui il polinomio non si annulla. E' una conseguenza di Ruffini.
A meno che non si voleva una cosa tipo
Un polinomio in due variabili si annulla al più un numero finito di volte lungo qualsiasi retta giusto? Quindi tutti gli altri infiniti punti di quella retta sono punti in cui il polinomio non si annulla. E' una conseguenza di Ruffini.
A meno che non si voleva una cosa tipo
Che tu mi voglia rispondere tra matematici al bar mi sta bene, infatti, mi hai scritto una dimostrazione stringata al minimo... Però, attento che raccontata così sembra che valga solo nel mondo reale. 
Quello che hai scritto in spoiler, a meno che tu non conosca la topologia, va bene per le funzioni continue reali e complesse e non a valori razionali.
In cosa sono stato poco chiaro nella dimostrazione incompleta?
EDIT: Accolgo qualche suggerimento di Giammaria sul mio modo di esprimermi.
Quello che hai scritto in spoiler, a meno che tu non conosca la topologia, va bene per le funzioni continue reali e complesse e non a valori razionali.
In cosa sono stato poco chiaro nella dimostrazione incompleta?
EDIT: Accolgo qualche suggerimento di Giammaria sul mio modo di esprimermi.
[xdom="giammaria"]@ j18eos. Le persone che amano a matematica sono poche ed è opportuno che si spalleggino fra loro. Possono esserci critiche reciproche ma vanno sempre espresse nel tono più cortese possibile; il tuo ultimo post contiene un paio di frasi che, pur non veramente villane, non sono certo il massimo sotto quell'aspetto.
Se davvero sei una persona di valore, dimostralo con il tuo comportamento.[/xdom]
Se davvero sei una persona di valore, dimostralo con il tuo comportamento.[/xdom]
Mi sono già sentito in privato con Giammaria, ed ho deciso di chiudere questo esercizio...
Sia \(\displaystyle\Gamma\) un curva polinomiale in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) determinata da un polinomio non nullo \(\displaystyle f\) a coefficienti reali[nota]In realtà, non m'importa nulla di essere in \(\displaystyle\mathbb{Q},\mathbb{R}\) o \(\displaystyle\mathbb{C}\).[/nota].
Come giustamente ha scritto xXStephXx, esiste un punto \(\displaystyle P\notin\Gamma\), poiché dette \(\displaystyle(x,y)\) le sue coordinate si ha che deve accadere \(\displaystyle f(x,y)\neq0\) altrimenti \(\displaystyle f\) sarebbe il polinomio nullo.
Ora c'è un piccolo ma grossissimo errore nel suo ragionamento[nota]...che tra l'altro è il punto su cui speravo di far scervellare un pò qualcun*, dato che è lo scopo\il titolo di questa stanza.[/nota]: considero una retta \(\displaystyle r\) passante per \(\displaystyle P\) così da essere sicuro che \(\displaystyle r\not\subseteq\Gamma\)[nota]Per chi non ci crede che esistano curve polinomiali contenenti rette, basta considerare i polinomi \(\displaystyle (x+y)(x-y),xy,(x^2-y)(x-y)\); i primi due determinano unioni di due rette distinte e il terzo determina l'unione di una parabola con una retta.[/nota] e si conclude come ha scritto.
Con questa dimostrazione si usano tutti gli ingredienti proposti, non c'è bisogno di utilizzare proprietà proprie di \(\displaystyle\mathbb{R}\) o di \(\displaystyle\mathbb{C}\) che in \(\displaystyle\mathbb{Q}\) non sono vere; oppure di scomodare la continuità delle funzioni polinomiali.
§§§
Andando al bar[nota]Offro io, così nessuno si ritiene in debito[/nota], parlando di rette tutti pensiamo (giustamente) a un filo bello teso che si estende in entrambi i versi all'infinito: vero se siamo su \(\displaystyle\mathbb{R}\); invece, una curva polinomiale è una "curva" e basta! In maniera ingenua sappiamo che una curva e una retta si intersecano finite volte, ma con gli esempi proposti nella nota 2 non è vero!
Se ci mettiamo su \(\displaystyle\mathbb{C}\), quello che a scuola ci hanno insegnato a chiare piano di (Argand-)Gauss in realtà è la retta complessa, quindi una curva polinomiale complessa ci apparirà come una superficie; ingenuamente sappiamo che superfici e piani si possono intersecare in curve, e quindi per come esposto il ragionamento da xXStephXx sembra che le cose non vadano come egli afferma[nota]...e rileggi la nota 2![/nota].
Sia \(\displaystyle\Gamma\) un curva polinomiale in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) determinata da un polinomio non nullo \(\displaystyle f\) a coefficienti reali[nota]In realtà, non m'importa nulla di essere in \(\displaystyle\mathbb{Q},\mathbb{R}\) o \(\displaystyle\mathbb{C}\).[/nota].
Come giustamente ha scritto xXStephXx, esiste un punto \(\displaystyle P\notin\Gamma\), poiché dette \(\displaystyle(x,y)\) le sue coordinate si ha che deve accadere \(\displaystyle f(x,y)\neq0\) altrimenti \(\displaystyle f\) sarebbe il polinomio nullo.
Ora c'è un piccolo ma grossissimo errore nel suo ragionamento[nota]...che tra l'altro è il punto su cui speravo di far scervellare un pò qualcun*, dato che è lo scopo\il titolo di questa stanza.[/nota]: considero una retta \(\displaystyle r\) passante per \(\displaystyle P\) così da essere sicuro che \(\displaystyle r\not\subseteq\Gamma\)[nota]Per chi non ci crede che esistano curve polinomiali contenenti rette, basta considerare i polinomi \(\displaystyle (x+y)(x-y),xy,(x^2-y)(x-y)\); i primi due determinano unioni di due rette distinte e il terzo determina l'unione di una parabola con una retta.[/nota] e si conclude come ha scritto.
Con questa dimostrazione si usano tutti gli ingredienti proposti, non c'è bisogno di utilizzare proprietà proprie di \(\displaystyle\mathbb{R}\) o di \(\displaystyle\mathbb{C}\) che in \(\displaystyle\mathbb{Q}\) non sono vere; oppure di scomodare la continuità delle funzioni polinomiali.
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Andando al bar[nota]Offro io, così nessuno si ritiene in debito[/nota], parlando di rette tutti pensiamo (giustamente) a un filo bello teso che si estende in entrambi i versi all'infinito: vero se siamo su \(\displaystyle\mathbb{R}\); invece, una curva polinomiale è una "curva" e basta! In maniera ingenua sappiamo che una curva e una retta si intersecano finite volte, ma con gli esempi proposti nella nota 2 non è vero!
Se ci mettiamo su \(\displaystyle\mathbb{C}\), quello che a scuola ci hanno insegnato a chiare piano di (Argand-)Gauss in realtà è la retta complessa, quindi una curva polinomiale complessa ci apparirà come una superficie; ingenuamente sappiamo che superfici e piani si possono intersecare in curve, e quindi per come esposto il ragionamento da xXStephXx sembra che le cose non vadano come egli afferma[nota]...e rileggi la nota 2![/nota].
Quello era solo l'aperitivo 
Però intendevo quello xD Mi ero scordato di dire che su una retta o si annulla sempre o si annulla un numero finito di volte, quindi prendendo una passante per $P$ ci sono infiniti punti dove non si annulla.
Volendo farla bene:
Se $P= (x_0, y_0)$ è un punto dove il polinomio non si annulla, allora il polinomio $P(x, y_0)$ è un polinomio con una sola variabile $x$ non nullo. Suppongo che questo polinomio abbia grado $n$.
Il polinomio (non essendo nullo) può avere al più $n$ radici (ovvero $n$ punti in cui si annulla), perchè se ci mettiamo in $\mathbb{C}$ ha esattamente $n$ radici, e di conseguenza non può averne di più in $\mathbb{R}$ e $\mathbb{Q}$.
Quindi tutti gli infiniti $x$ che non sono radici sono punti in cui il polinomio non si annulla.
Quello che non avevo capito è che credevo che quella roba che generalizzava alle funzioni continue fosse uno spunto di soluzione e ho commentato proprio perchè mi era sembrata superflua xD Ho capito dopo che quello era solo un esempio di soluzione naif e non elementare
Però intendevo quello xD Mi ero scordato di dire che su una retta o si annulla sempre o si annulla un numero finito di volte, quindi prendendo una passante per $P$ ci sono infiniti punti dove non si annulla.Volendo farla bene:
Se $P= (x_0, y_0)$ è un punto dove il polinomio non si annulla, allora il polinomio $P(x, y_0)$ è un polinomio con una sola variabile $x$ non nullo. Suppongo che questo polinomio abbia grado $n$.
Il polinomio (non essendo nullo) può avere al più $n$ radici (ovvero $n$ punti in cui si annulla), perchè se ci mettiamo in $\mathbb{C}$ ha esattamente $n$ radici, e di conseguenza non può averne di più in $\mathbb{R}$ e $\mathbb{Q}$.
Quindi tutti gli infiniti $x$ che non sono radici sono punti in cui il polinomio non si annulla.
Quello che non avevo capito è che credevo che quella roba che generalizzava alle funzioni continue fosse uno spunto di soluzione e ho commentato proprio perchè mi era sembrata superflua xD Ho capito dopo che quello era solo un esempio di soluzione naif e non elementare
Più che altro: tutto il macchinario dell'analisi matematica in geometria algebrica non serve; confesso che quella dimostrazione incompleta è la prima che mi sarei aspettata da uno studente della scuola secondaria, anche se ve ne sono di più rapide con l'analisi.
Davo per scontato la ricerca di una dimostrazione puramente geometrica; che comunque non è banale ma delicata in qualche passaggio.
Una domanda così, diciamo free: cosa possiamo dedurre da questo esercizio? Ripeto ancora una volta, questo è un esercizio classico della geometria algebrica, nel suo piccolo importante!
Davo per scontato la ricerca di una dimostrazione puramente geometrica; che comunque non è banale ma delicata in qualche passaggio.
Una domanda così, diciamo free: cosa possiamo dedurre da questo esercizio? Ripeto ancora una volta, questo è un esercizio classico della geometria algebrica, nel suo piccolo importante!
"j18eos":
Una domanda così, diciamo free: cosa possiamo dedurre da questo esercizio? Ripeto ancora una volta, questo è un esercizio classico della geometria algebrica, nel suo piccolo importante!
Non saprei di preciso xD
Un polinomio non nullo in 2 variabili non si può annullare su un'intera superficie, ma solo su punti, rette, curve?
Ci sei andato vicino: non esiste una curva polinomiale che ricopre l'intero piano[nota]Si esclude il polinomio nullo...[/nota]!
Invece, giusto per cronaca, esistono curve continue (ma non polinomiali) che ricoprono l'intero piano.
...e questa è solo una piccola differenza tra geometria algebrica e geometria analitica.
Invece, giusto per cronaca, esistono curve continue (ma non polinomiali) che ricoprono l'intero piano.
...e questa è solo una piccola differenza tra geometria algebrica e geometria analitica.
"j18eos":
Invece, giusto per cronaca, esistono curve continue (ma non polinomiali) che ricoprono l'intero piano.
Di curve "della stessa razza" conosco un paio di formulazioni esplicite delle curve di Peano, con dimostrazione della suriettività annessa, e pur sapendo che è possibile estendere il risultato al piano, non ne ho mai viste scritte in maniera esplicita. Ne hai qualcuna sottomano?
Non conosco una formula esplicita di queste curve, ma conosco la sola esistenza; e dubito fortemente che si possa dare una tal formula, in quanto per loro natura sono curve "impensabili" almeno fino agli inizi del XX secolo!
Lo sospettavo, ma speravo di sbagliarmi... Grazie!
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