Cubi perfetti

[Warrio9]

"Siano a,b numeri interi. Si dimostri che se $ a^(1/3)+b^(1/3) $ è un numero razionale non nullo, allora a e b sono entrambi cubi perfetti."
Volevo capire se il ragionamento che ho fatto è corretto essendo la soluzione proposta dal libro diversa:
Partiamo dal presupposto che se $ a^(1/3)+b^(1/3) $ è razionale allora anche i singoli termini lo sono. (Va dimostrato?)
Bisogna quindi dimostrare che $ a^(1/3) $ è un intero.
Per assurdo diciamo $ a^(1/3) = m/n $, allora $ n * a^(1/3) = m $, e ancora $ a*(n^3) = m^3 $. Sia a che m che n sono interi per cui a deve per forza essere uguale ad un cubo di intero (e quindi n = 1 perché la radice cubica di un cubo perfetto è un intero). Questo si può estendere anche a b. Giusto?

[killing_buddha]

"4,3 PERIODICO":
Partiamo dal presupposto che se $ a^(1/3)+b^(1/3) $ è razionale allora anche i singoli termini lo sono.

E' falso.

[killing_buddha]

Si fa così: prendi \(a^{1/3}+b^{1/3} =\frac{p}{q}\) ed elevalo alla terza; ti viene
\[
\frac{p^3}{q^3} = a+b+\sqrt[3]{ab}(a^{1/3}+b^{1/3})
\] Ciò implica (facendo un attimo maquillage a questa equazione) che \(\sqrt[3]{ab}\) è razionale, perché \(ab=r^3\) per $r\in\mathbb Q$. Hai finito.

[giammaria2]

"killing_buddha": Ciò implica (facendo un attimo maquillage a questa equazione) che \(\sqrt[3]{ab}\) è razionale, perché \(ab=r^3\) per $r\in\mathbb Q$. Hai finito.

Concordo fino a dire che \(\sqrt[3]{ab}\) è razionale, ma il fatto che $ab$ sia un cubo non implica che lo siano $a,b$ singolarmente. Se tu riesci a darne una dimostrazione rapida, ben venga; io lo dimostro in modo più lento.
Dopo aver tratto la precedente conclusione, noto che $a^(1/3),b^(1/3)$ hanno somma e prodotto razionali; sono quindi le due soluzioni di un'equazione di secondo grado a coefficienti razionali e, supposto $a>=b$, posso dire che si ha
$a^(1/3)=x+sqrt(y)$
con
- $x,y$ razionali;
- $x!=0$ perché altrimenti avrei $a^(1/3)+b^(1/3)=0$;
- $y>=0$ perché $a^(1/3)$ è reale.

Elevando al cubo ho
$a=x^3+3x^2sqrty+3xy+ysqrty=x(x^2+3y)+sqrty(3x^2+y)$
Il restante è razionale, quindi deve esserlo anche l'ultimo addendo; poiché $3x^2+y!=0$ (è sempre positivo), deve essere razionale $sqrty$. Ne consegue che è razionale anche $a^(1/3)$; il resto della dimostrazione segue gli schemi già visti.

[Warrio9]

"killing_buddha":[quote="4,3 PERIODICO"]
Partiamo dal presupposto che se $ a^(1/3)+b^(1/3) $ è razionale allora anche i singoli termini lo sono.

E' falso.[/quote]
Quindi la somma di un irrazionale con un razionale può essere razionale?

"killing_buddha":Si fa così: prendi \( a^{1/3}+b^{1/3} =\frac{p}{q} \) ed elevalo alla terza; ti viene
\[ \frac{p^3}{q^3} = a+b+\sqrt[3]{ab}(a^{1/3}+b^{1/3}) \] Ciò implica (facendo un attimo maquillage a questa equazione) che \( \sqrt[3]{ab} \) è razionale, perché \( ab=r^3 \) per $ r\in\mathbb Q $. Hai finito.

Prima di $ ab^(1/3) $ non dovrebbe esserci un 3? Poi non mi è chiaro perchè $ ab^(1/3) $ è per forza razionale..

[Erasmus_First]

"4,3 PERIODICO":"Siano a,b numeri interi. Si dimostri che se $ a^(1/3)+b^(1/3) $ è un numero razionale non nullo, allora a e b sono entrambi cubi perfetti."

La tesi si dimostra facilmente se si tiene conto del fatto che se la radice cubica di un intero è razionale allora è pure intera (perché, se $p$ e $q$ sono interi e $q$ non è divisore di $p$ –ossia se $p/q$ non è intero – nemmeno $q^3$ è divisore di $p^3$, ossia $(p^3)/(q^3)$ non è intero).
Ecco "spaparacchiata" la dimostrazione.
• $a^(1/3) + b^(1/3) ≠0$ ⇒ $a ≠-b$ ⇔ $a+b≠0$.
• Si ponga $s = (a^(1/3)+ b^(1/3))/2$ e $d = (a^(1/3) - b^(1/3))/2$. Segue dalle ipotesi che $s$ è razionale.
• Se è $a=b$ allora $a^(1/3) = b^(1/3)$ è razionale – diciamo $a^(1/3) = b^(1/3) = p/q$ con $p$ e $q$ interi coprimi –;
e siccome $a =b = (p^3)/(q^3)$ è intero, necessariamente è $q=1$, cioè $a=b= p^3$ (cubo perfetto).
• Se è $a ≠ b$ allora:
$a^(1/3) = s+d$ ⇒ $a = (s+d)^3 = s^3 + 3s^2d + 3 sd^2 + d^3$;
$b^(1/3) = s-d$ ⇒ $b = (s-d)^3 = s^3 - 3s^2d + 3 sd^2 - d^3$.
Da queste (per somma e differenza membro a membro) si ha subito:
$a + b = 2s(s^2 + 3d^2)$ (*)
$a - b = 2d(d^2 + 3s^2)$ (**)
Essendo $a$ e $b$ interi [non nulli né opposti] ed essendo $s$ razionale, dalla (*) segue che anche $d^2$ è razionale. Con ciò, dalla (**) segue che anche $d$ è razionale.
Ma allora sono razionali entrambi $a^(1/3) = (s+d)/2$ e $b^(1/3) = (s-d)/2$; ed essendo intero il loro cubo essi pure sono interi, ossia; il cubo di entrambi (i. e. sia $a$ che $b$) è un "cubo perfetto".

_______

[Warrio9]

"Erasmus_First":

[quote="4,3 PERIODICO"]"Siano a,b numeri interi. Si dimostri che se $ a^(1/3)+b^(1/3) $ è un numero razionale non nullo, allora a e b sono entrambi cubi perfetti."

La tesi si dimostra facilmente se si tiene conto del fatto che se la radice cubica di un intero è razionale allora è pure intera (perché, se $ p $ e $ q $ sono interi e $ q $ non è divisore di $ p $ –ossia se $ p/q $ non è intero – nemmeno $ q^3 $ è divisore di $ p^3 $, ossia $ (p^3)/(q^3) $ non è intero).
Ecco "spaparacchiata" la dimostrazione.
• $ a^(1/3) + b^(1/3) ≠0 $ ⇒ $ a ≠-b $ ⇔ $ a+b≠0 $.
• Si ponga $ s = (a^(1/3)+ b^(1/3))/2 $ e $ d = (a^(1/3) - b^(1/3))/2 $. Segue dalle ipotesi che $ s $ è razionale.
• Se è $ a=b $ allora $ a^(1/3) = b^(1/3) $ è razionale – diciamo $ a^(1/3) = b^(1/3) = p/q $ con $ p $ e $ q $ interi coprimi –;
e siccome $ a =b = (p^3)/(q^3) $ è intero, necessariamente è $ q=1 $, cioè $ a=b= p^3 $ (cubo perfetto).
• Se è $ a ≠ b $ allora:
$ a^(1/3) = s+d $ ⇒ $ a = (s+d)^3 = s^3 + 3s^2d + 3 sd^2 + d^3 $;
$ b^(1/3) = s-d $ ⇒ $ b = (s-d)^3 = s^3 - 3s^2d + 3 sd^2 - d^3 $.
Da queste (per somma e differenza membro a membro) si ha subito:
$ a + b = 2s(s^2 + 3d^2) $ (*)
$ a - b = 2d(d^2 + 3s^2) $ (**)
Essendo $ a $ e $ b $ interi [non nulli né opposti] ed essendo $ s $ razionale, dalla (*) segue che anche $ d^2 $ è razionale. Con ciò, dalla (**) segue che anche $ d $ è razionale.
Ma allora sono razionali entrambi $ a^(1/3) = (s+d)/2 $ e $ b^(1/3) = (s-d)/2 $; ed essendo intero il loro cubo essi pure sono interi, ossia; il cubo di entrambi (i. e. sia $ a $ che $ b $) è un "cubo perfetto".

[Warrio9]

"4,3 PERIODICO":[quote="Erasmus_First"]

[quote="4,3 PERIODICO"]"Siano a,b numeri interi. Si dimostri che se $ a^(1/3)+b^(1/3) $ è un numero razionale non nullo, allora a e b sono entrambi cubi perfetti."

La tesi si dimostra facilmente se si tiene conto del fatto che se la radice cubica di un intero è razionale allora è pure intera (perché, se $ p $ e $ q $ sono interi e $ q $ non è divisore di $ p $ –ossia se $ p/q $ non è intero – nemmeno $ q^3 $ è divisore di $ p^3 $, ossia $ (p^3)/(q^3) $ non è intero).
Ecco "spaparacchiata" la dimostrazione.
• $ a^(1/3) + b^(1/3) ≠0 $ ⇒ $ a ≠-b $ ⇔ $ a+b≠0 $.
• Si ponga $ s = (a^(1/3)+ b^(1/3))/2 $ e $ d = (a^(1/3) - b^(1/3))/2 $. Segue dalle ipotesi che $ s $ è razionale.
• Se è $ a=b $ allora $ a^(1/3) = b^(1/3) $ è razionale – diciamo $ a^(1/3) = b^(1/3) = p/q $ con $ p $ e $ q $ interi coprimi –;
e siccome $ a =b = (p^3)/(q^3) $ è intero, necessariamente è $ q=1 $, cioè $ a=b= p^3 $ (cubo perfetto).
• Se è $ a ≠ b $ allora:
$ a^(1/3) = s+d $ ⇒ $ a = (s+d)^3 = s^3 + 3s^2d + 3 sd^2 + d^3 $;
$ b^(1/3) = s-d $ ⇒ $ b = (s-d)^3 = s^3 - 3s^2d + 3 sd^2 - d^3 $.
Da queste (per somma e differenza membro a membro) si ha subito:
$ a + b = 2s(s^2 + 3d^2) $ (*)
$ a - b = 2d(d^2 + 3s^2) $ (**)
Essendo $ a $ e $ b $ interi [non nulli né opposti] ed essendo $ s $ razionale, dalla (*) segue che anche $ d^2 $ è razionale. Con ciò, dalla (**) segue che anche $ d $ è razionale.
Ma allora sono razionali entrambi $ a^(1/3) = (s+d)/2 $ e $ b^(1/3) = (s-d)/2 $; ed essendo intero il loro cubo essi pure sono interi, ossia; il cubo di entrambi (i. e. sia $ a $ che $ b $) è un "cubo perfetto".

[giammaria2]

"4,3 PERIODICO": ho appena ricercato e "... La somma di due irrazionali $ x,y $ è razionale se e solo se $ x=-y+r $ con $ r $ razionale."

Mi chiedo cosa intendesse dire l'autore di quella frase. La formula $ x=-y+r $ è la stessa di $x+y=r$, e quindi la frase è lo stesso di "La somma di due irrazionali $ x,y $ è razionale se e solo se è razionale": lapalissiano.
La regola generale è: "La somma di due irrazionali può essere sia irrazionale che razionale". Ecco un esempio per ciasuno dei due casi:
I esempio: $x=2+3sqrt2; y=5-2sqrt2->x+y=7+sqrt2$ (irrazionale)
II esempio: $x=2+sqrt2; y=5-sqrt2->x+y=7$ (razionale)

Forse obietterai che i miei numeri sono, per così dire, "composti", cioè formati da una somma, ma questo non impedisce che siano dei numeri. Mi sarebbe inoltre stato facile camuffarli un po', ad esempio scrivendo $sqrt(6+4sqrt2)$ al posto di $2+sqrt2$ (non ti è difficile controllare che questi due numeri sono uguali).

La tua dimostrazione è quindi sbagliata: anche se la somma è razionale, i due addendi possono non esserlo.

[Warrio9]

"giammaria":[quote="4,3 PERIODICO"] ho appena ricercato e "... La somma di due irrazionali $ x,y $ è razionale se e solo se $ x=-y+r $ con $ r $ razionale."

Mi chiedo cosa intendesse dire l'autore di quella frase. La formula $ x=-y+r $ è la stessa di $x+y=r$, e quindi la frase è lo stesso di "La somma di due irrazionali $ x,y $ è razionale se e solo se è razionale": lapalissiano.
La regola generale è: "La somma di due irrazionali può essere sia irrazionale che razionale". Ecco un esempio per ciasuno dei due casi:
I esempio: $x=2+3sqrt2; y=5-2sqrt2->x+y=7+sqrt2$ (irrazionale)
II esempio: $x=2+sqrt2; y=5-sqrt2->x+y=7$ (razionale)

Forse obietterai che i miei numeri sono, per così dire, "composti", cioè formati da una somma, ma questo non impedisce che siano dei numeri. Mi sarebbe inoltre stato facile camuffarli un po', ad esempio scrivendo $sqrt(6+4sqrt2)$ al posto di $2+sqrt2$ (non ti è difficile controllare che questi due numeri sono uguali).

La tua dimostrazione è quindi sbagliata: anche se la somma è razionale, i due addendi possono non esserlo.[/quote]
Il fatto è che sia a che b sono numeri interi e di conseguenza non sono sono validi questi casi di numeri "composti".

[giammaria2]

"4,3 PERIODICO":Il fatto è che sia a che b sono numeri interi e di conseguenza non sono sono validi questi casi di numeri "composti".

Ed infatti con quell'ipotesi si arriva a dimostrare che $a^(1/3),b^(1/3)$ sono numeri interi; occorre dimostrarlo perché non ci sono regole generali che permettano di affermarlo.
Nella tua dimostrazione era però buono il ragionamento con cui dimostravi che se sono razionali, allora sono interi.

P.S.
E' meglio non riportare per intero l'intervento a cui rispondi perché appesantisce il tutto; limitati alle poche frasi che intendi commentare, cancellando le altre. Chi vuole può leggere il tutto nella versione originale.

[Warrio9]

"giammaria":
P.S.
E' meglio non riportare per intero l'intervento a cui rispondi perché appesantisce il tutto; limitati alle poche frasi che intendi commentare, cancellando le altre. Chi vuole può leggere il tutto nella versione originale.

Pardon, non lo sapevo :c

Comunque per quanto mi riguarda ogni dubbio è stato chiarito, grazie a tutti!

[Erasmus_First]

"4,3 PERIODICO": [...] un ultimo dubbio: un numero razionale può essere la somma di due irrazionali o razionale+irrazionale?

• Le operazioni "razionali" (cioè: somma, differenza, prodotto e rapporto) su numeri razionali restituiscono numeri ancora razionali.
• La composizione [con una delle quattro dette operazioni razionali] di un razionale con un irrazionale restituisce sempre un irrazionale.
Siano $r$ un razionale (non nullo) e $z$ un qualsiasi irrazionale. Allora sono tutti irrazionali i seguenti numeri:
$r+z$; $±(r-z)$; $r·z$; $r/z$; $z/r$.
• La composizione [con una delle quattro dette operazioni razionali] di due numeri irrazionali può restituire un irrazionale o anche un razionale (in dipendenza da quali sono gli irrazionali che vengono composti).
Ecco un esercizio molto istruttivo a proposito.
Risolvere il seguente sistema di due equazioni in due incognite.
$x + y = 4$; (*)
$x^(1/3) + y^(1/3) = 2$. (**)
Facendo il cubo dei membri di (**) si ha:
$x +y + 3(xy)^(1/3)(x^(1/3) + y^(1/3)) = 8$.
Da qui, mettendo in conto le (*) e (**) si trova:
$4 + 3(xy)^(1/3)·2 = 8$ ⇔ $x^(1/3)y^(1/3)=2/3$ ⇒ $xy = 8/27$.
Associando l''ultima equazione alla (*) il sistema da risolvere diventa:
$x+y = 4$ ∧ $xy=8/27$.
Da qui si ha subito:
$(x+y)^2 - 4(xy) ≡[±(x-y)]^2=16-32/27 = 400/27$ ⇒ $x-y=±20/9sqrt3$.
Il sistema delle (*) e (**) equivale dunque alla seguente coppia di sistemi lineari:
$[(x+y=4) ∧ (x-y) = 20/9sqrt3] ∨ [(x+y=4) ∧ (x-y) =-20/9sqrt3]$
le cui due soluzioni sono
$(x=2+10/9sqrt3 ∧ y = 2 - 10/9sqrt3) ∨ (x=2-10/9sqrt3 ∧ y = 2 + 10/9sqrt3)$.
La seconda soluzione si ottiene dalla prima scambiando tra loro $x$ e $y$.
Si consideri la prima di queste due soluzioni e si ponga:
$a = x^(1/3) = (2+10/9sqrt3)^(1/3)$; $b =y^(1/3) = (2-10/9sqrt3)^(1/3)$.
I numeri $a$ e $b$ sono palesemente irrazionali. Si rilevi allora che:
• $a + b = 2$ (razionale);
• $a - b = (2+10/9sqrt3)^(1/3)-(2-10/9sqrt3)^(1/3)$ (irrazionale) $≈1,1547005383793...$;
• $a·b = (4-100/81 3)^(1/3) = (8/27)^(1/3) = 2/3$ (razionale);
• $a/b = ((2+10/9sqrt3)^(1/3))/((2-10/9sqrt3)^(1/3)) = (26+15sqrt3)^(1/3)$ (irrazionale).
_______

[giammaria2]

A quanto scritto da Erasmus_First faccio un'aggiunta, che forse 4,3 PERIODICO può trovare utile.
Arrivati a
$x+y = 4$ ∧ $xy=8/27$
mi sembra più rapido proseguire col metodo tradizionale, che dice che se di due numeri si conoscono la somma $s$ ed il prodotto $p$, i due numeri sono le soluzioni dell'equazione
$z^2-sz+p=0$
La prima soluzione è $x$ e la seconda $y$, oppure viceversa.
Nel nostro caso l'equazione è
$z^2-4z+8/27=0$
con soluzioni
$x,y=z_(1,2)=2+-sqrt(4-8/27)=2+-sqrt(100/27*3/3)=2+-(10sqrt3)/9$

[Warrio9]

Grazie mille a tutti per le risposte, siete stati gentilissimi e davvero utili