Costruzione triangolo dati lato e somma altri due e ...

[Sk_Anonymous]

Costruire un triangolo dati un suo lato, la somma degli altri due e la retta su cui giace il punto comune di questi.

[adaBTTLS1]

è sufficiente dire che il terzo vertice è una delle due possibili intersezioni tra la retta data e l'ellisse avente per fuochi gli estremi del primo lato e asse maggiore di lunghezza pari alla somma degli altri due?

ciao

[Sk_Anonymous]

é sicuramente correto quanto scrivi, ma c'è la possibilità di risolvere il problema "usando solo riga e compasso".

[adaBTTLS1]

Ho in mente una costruzione con riga e compasso, ma non mi convince molto la "genericità" della retta di cui si parla nel testo.
Detto $AB$ il primo lato, detta $l$ la sua lunghezza, detta $s$ la somma delle lunghezze degli altri due lati, il terzo vertice $C$ potrebbe appartenere alla circonferenza con centro nel punto medio di $AB$ e diametro $s$.
Però il centro potrebbe essere anche un qualsiasi altro punto di $AB$, con il diametro sempre uguale ad $s$.
Detta $r$ la retta del testo, $r$ potrebbe essere una qualsiasi retta passante per $C$, addirittura anche parallela ad $AB$ (il testo in realtà non lo esclude); quindi $C$ potrebbe essere un'intersezione di $r$ con una qualsiasi circonferenza di centro $P in AB$ e diametro $s$.
Se ci sono delle restrizioni a cui non ho pensato oppure non esplicitate nel testo, facci sapere. Grazie.

[Sk_Anonymous]

proviamo così: hai una retta r tracciata; hai due punti A e B fissati nello stesso piano rispetto ad r.
L'unica cosa da trovare è la posizione del punto C (il terzo vertce del triangolo) sulla retta r.

[adaBTTLS1]

Così è esattamente come si deduce dal testo: si sa solo che la retta del terzo vertice è complanare con la retta del lato opposto, quindi in particolare le due rette possono essere parallele e distinte, perpendicolari, incidenti ma non perpendicolari (è da escludere solo il caso di rette coincidenti, perché non si potrebbe formare un triangolo).

[Sk_Anonymous]

Prova a trattare il caso più generale: rette incidenti non perpendicolari.
PS
Forse adesso ho capito il senso della tua osservazione sulla "genericità ", anche se,fino a prova contraria, il termine "generalità " sarebbe più appropriato.

[40rob]

Con riga e compasso si possono determinare i punti di intersezione dell'ellisse con una retta se si conoscono gli estremi dei due assi dell'ellisse (e nel caso specifico si conoscono).

Un ellisse la si può vedere come un cerchio schiacciato rispetto ad un asse (quello su cui non giacciono i fuochi). Basta trasformare la retta di cui si vuol calcolare l'intersezione con l'ellisse (ossia due punti non coincidenti di questa) nella retta non schiacciata con le proporzioni, calcolare i punti di intersezione col cerchio non schiacciato (con raggio uguale all'asse maggiore) e ritrasformare i punti in quelli schiacciati lungo uno degli assi.

[Sk_Anonymous]

Sembra interessante e promettente come approccio.
Io sono interessato a conoscere qualche dettaglio in più.

PS
La soluzione che ho trovatao io è molto più "classica" e quasi standard direi.

[giammaria2]

Col magnifico suggerimento di bub ho fatto la costruzione, che è più semplice di quanto avrei immaginato leggendo il suo intervento; ci sono ben tre casi particolari ma si fanno in modo simile al caso generale. Mi sembra giusto lasciare a lui ( o lei) il dirne di più; lo farò io solo se fra qualche giorno non avrà detto nient'altro e se ci saranno altre richieste di dettagli.
L'obiezione è però che si usano concetti di analitica e mi incuriosisce molto conoscere la soluzione trovata da sprmnt21; per favore, puoi darmi qualche hint?

[Sk_Anonymous]

"giammaria":
L'obiezione è però che si usano concetti di analitica e mi incuriosisce molto conoscere la soluzione trovata da sprmnt21; per favore, puoi darmi qualche hint?

Direi che va bene anche l'analitica, specialmente se, come in questo caso, è supportata da un'ottima pensata e non solo dalla bruta potenza delle coordinate cartesiane.
Per il suggerimento fammici pensare un po' (non voglio essere né troppo parco, né voglio toglierti inutilmente nemmeno parte della soddisfazione).


Per adesso ti dico solo che il problema si può ricondurre ad

un caso molto particolare del generale problema di Apollonio dei quattro cerchi

[Sk_Anonymous]

"giammaria":Col magnifico suggerimento di bub ho fatto la costruzione, che è più semplice di quanto avrei immaginato leggendo il suo intervento

credo di esserci arrivato anch'io. Metto solo un principio di idea

Mettendosi in opportuno sistema di riferimento, le equazioni dell'ellissi e del cerchio con diametro l'asse maggiore sono rispettivamente:

$x^2/a^2+y^2/b^2=1$ e $x^2+y^2=b^2$

Riscrivendo la primanella forma:

$(b/ax)^2+y^2=b^2$

si ricava che si può ottenere l'una dall'alltra con una dilatazione verticale di rapporto b/a.

dal punto di vista geometrico si ha che la retta "dilatata" e quella data incontrano l'asse maggiore nello stesso punto.

[giammaria2]

Sì, l'idea è quella. Aggiungo, in breve, la mia soluzione.

Io ho dilatato l'asse $y$ con la trasformazione
${(x=x'), (y=b/a y'):}$
e l'ellisse diventa la circonferenza $(x')^2+(y')^2=a^2$. Per trasformare la retta $r$ ho trovato comodo scriverla nella forma segmentaria
$x/p+y/q=1$
e la trasformata $r'$ è
$(x')/p+(y')/(q')=1" "$ con $" "q'=q*a/b$
Ho costruito $q'$ col teorema di Talete. Per tornare alle vecchie coordinate basta notare che la $x$ non cambia.

Restano escluse le rette parallele ad un asse o passanti per l'origine: sono i casi particolari di cui parlavo.

[Sk_Anonymous]

hint sol. euclidea

dati i punti A e B e conoscendo al somma dei lati AC e BC con C su r, sia A' sul prolungamento di BC tale che CA'=CA. Come si può costruire il punto A'?

[giammaria2]

Ci ho provato e riprovato, ma il tuo hint non mi basta: a parte l'ovvia appartenenza ad una circonferenza, non trovo alcuna condizione utile per costruire $A'$. Per favore, dimmi qualcosa di più; pazienza se poi la soluzione diventa troppo facile.

[Sk_Anonymous]

Supposto risolto il problema, osserva la configurazione delle circonferenze c(B) e c(C) di centro B e raggio la somma AC+BC e centro C e raggio AC. In che relazione stanno? Come si può costruire la c(C)?