Costruire un triangolo rettangolo

[giammaria2]

Il problema che propongo non proviene da gare, ma potrebbe rientrarvi perché ha una soluzione semplice ed elementare, puramente geometrica. Finora tutti quelli a cui l'ho proposto hanno dato soluzioni complicate o di altro tipo (o si sono arresi): sapete fare meglio?
Esternamente al triangolo ABC, rettangolo in C, è disegnato il quadrato BCDE. Costruire il triangolo conoscendo AB=a e l'area S di ABED. Il dato relativo all'area può essere interpretato intendendo che in un parallelogramma o un triangolo equivalente al quadrilatero e di base nota si conosce anche l'altezza o viceversa.

[NoRe1]

Il quadrilatero è un quadrilatero qualsiasi?

Uno del genere?


[jxg]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[/jxg]

p.s. l'ho fatto soprattutto per provare questa funzione...

[giammaria2]

Veramente io avevo scritto il quadrato BCDE.

[NoRe1]

"giammaria":Veramente io avevo scritto il quadrato BCDE.

Non sono riuscito lo stesso... Risultati troppo complessi e ho lasciato perdere...
Si può avere una soluzione qui?

[giammaria2]

Ho risolto questo problema quando facevo le medie superiori e l'idea vincente mi è venuta dopo sei mesi; naturalmente ho molto imprecato per non aver visto prima una cosa così facile. Di conseguenza vorrei lasciarti meditare ancora un po' e faccio questa proposta: se a fine novembre sarai ancora in alto mare, manda un altro post e scriverò l'inizio della mia soluzione. Se poi non basterà, ricordamelo il 15 dicembre e darò la chiave per la soluzione; lascerei comunque a te il completamento.
A titolo di curiosità, aggiungo che questo quesito è stato posto da uno studente che, come è poi risultato, aveva frainteso una domanda del suo libro.

[NoRe1]

"giammaria":Ho risolto questo problema quando facevo le medie superiori e l'idea vincente mi è venuta dopo sei mesi; naturalmente ho molto imprecato per non aver visto prima una cosa così facile. Di conseguenza vorrei lasciarti meditare ancora un po' e faccio questa proposta: se a fine novembre sarai ancora in alto mare, manda un altro post e scriverò l'inizio della mia soluzione. Se poi non basterà, ricordamelo il 15 dicembre e darò la chiave per la soluzione; lascerei comunque a te il completamento.
A titolo di curiosità, aggiungo che questo quesito è stato posto da uno studente che, come è poi risultato, aveva frainteso una domanda del suo libro.

Ogni giorno mi è venuta in mente una soluzione diversa che però portava allo stesso risultato D:
Tempo fino a Natale... poi mi arrendo

[Sk_Anonymous]

Si proceda con i seguenti passi :
1) si costruisca l'asse s del segmento AB
2) si scelga su s il punto O tale che sia \(\displaystyle AOB=2\alpha \) dove \(\displaystyle \tan\alpha=\frac{1}{2},\tan2\alpha=\frac{4}{3} \) . E' sufficiente prendere \(\displaystyle OH=2\cdot HB \)
3) si descriva la circonferenza \(\displaystyle \gamma \) di centro O e raggio=OA (=OB)
4) si tracci la retta KT parallela alla retta di AB e distante da essa di \(\displaystyle KL= \frac{2S}{a} \)
5) la retta KT tagli ( eventualmente ) la circonferenza \(\displaystyle \gamma \) nei punti N ed M
6) si congiunga A con M e si tracci da B la perpendicolare PI alla retta AM
7) si chiami C l'intersezione tra AM e PI : il triangolo ABC è così costruito...
Lascio ad altri la giustificazione ( abbastanza facile) del mio sproloquio

[giammaria2]

Bravissimo; hai trovato la chiave. Poi si poteva continuare anche senza trigonometria.

La chiave era che il triangolo BCM ha un cateto doppio dell'altro e quindi si conosce l'angolo che tu hai chiamato $alpha$; con i dati di base, altezza ed angolo si costruisce ABM e, tracciando la perpendicolare da B ad AM, si deduce C.
Io ho disegnato $AF=2a$ perpendicolarmente ad AB (quindi $A hatF B=alpha$), poi la circonferenza circoscritta ad ABF (è la stessa che tu hai chiamato $gamma$), eccetera.

Qualche volenteroso può aggiungere la discussione: per quali valori di $h=(2S)/a$ ci sono una, due o nessuna soluzione?

[NoRe1]

Mai fatto problemi di questo genere in vita mia

Sulla costruzione di figure sto a 0...

anche per questo sono sempre alla ricerca

Un grazie a questo forum e agli utenti di questo forum che si mettono sempre a disposizione

P.S. avete problemi del genere, ma più semplici? di quelli terra terra intendo

edit: nonostante tutto, forse ho trovato un'altra soluzione con la goniometria

Domani metto in ordine le idee

[giammaria2]

@NoRe. Cercherò se trovo problemi simili, possibilmente in qualche gara; nel frattempo puoi completare questo con le spiegazioni mancanti e la discussione.
Puoi anche farne la generalizzazione: costruire un triangolo conoscendone base, altezza ed angolo opposto alla base. E' un problema decisamente banale ma può costituire un buon inizio.
Aspetto di vedere la tua soluzione con la trigonometria, che mi incuriosisce. La domanda iniziale richiedeva però la sola geometria.

[NoRe1]

Ci ho pensato stanotte,al buio e mi sono accorto che la mia soluzione non era adatta... se mi entra qualcosa in testa non riesco a dormire
La mia soluzione, derivata da un ragionamento abbastanza banale, consisteva in un'equazione che consentiva di calcolare i due angoli del triangolo rettangolo...
In realtà non ha niente a che vedere con quanto richiesto dal problema ma vabbè...

Appena posso, credo domattina, metto per iscritto le due situazioni, sperando di riuscirci...

Come mai non ho mai fatto esercizi di costruzioni varie? è una grossa mancanza?

[giammaria2]

E' raro che nella scuola secondaria si dedichi tempo alle costruzioni e si preferisce trattare parti della matematica che hanno maggiori applicazioni; è un peccato, perché trovo affascinanti le costruzioni. Se frequenti il liceo scientifico, ne hai fatte alcune nel primo anno di disegno, prive però della dimostrazione matematica.
Proprio perché non le hai studiate, può però esserti divertente trovare da solo le soluzioni.

[NoRe1]

Mai fatto disegno in vita mia .-. purtroppo solo storia dell'arte.
nemmeno le costruzioni più elementari, se non in 2 media, forse...

[gugo82]

@ ciromario: Di nuovo tu? Ma non dovevamo vederci più? (cit)
Carina anche la scelta del nuovo nick: molto partenopea. Dovuta forse ai recenti fatti... Un modo inconscio per chiedere scusa.

[NoRe1]

Piuttosto vorrei sapere come si arriva alla costruzione... Sì, il triangolo è quello richiesto ma come mi salta in mente di fare una costruzione simile? o.O

Sulla domanda di gianmaria per quali valori di $h=(2S)/a$ ci sono una, due o nessuna soluzione non ho trovato risposta soddisfacente...


Per quanto riguarda la costruzione più semplice( costruire un dato triangolo conoscendo base, altezza e angolo opposto alla base ) credo si possa procedere così:

Preso il segmento AB detto base, prendo sull'asse del segmento un punto detto O tale che l'angolo AOB sia il doppio dell'angolo conosciuto. Traccio quindi la circonferenza di raggio OB.
Prendo poi una retta parallela ad AB avente una distanza da AB pari alla altezza del triangolo richiesto. uno dei due punti i di intersezione della retta con la circonferenza è il terzo vertice del triangolo richiesto...

Giusto?

[Sk_Anonymous]

! otsuiG

[giammaria2]

Anch'io dico che è giusto. In alternativa, puoi disegnare prima il triangolo ABC rettangolo in A ed avente l'angolo $A hatC B$ uguale a quello assegnato e poi la circonferenza ad esso circoscritta (cosa facilissima perché BC è un diametro); continui come hai fatto. La tua risposta coincide con la soluzione data da ciromario e l'alternativa con quella data da me; entrambi otteniamo la stessa circonferenza e quindi individuiamo lo stesso triangolo ABM.
Hai però ragione nel dire che le intersezioni sono due: permettono entrambe di ricavare il triangolo ABC? Esistono sempre? Rispondendo a queste domande trovi la risposta alla discussione.