Costruire un triangolo di cui si sa ... II (la vedetta)
Costruire un triangolo rettangolo di cui si conoscono le mediane relative ai cateti[nota]Questo problema deriva dalle riflessioni su questo viewtopic.php?f=47&t=155573[/nota].
Risposte
Vedetta?? Suppongo piccola e lombarda. 
algebricamente,
per quanto riguarda le soluzioni sintetiche-operative, lascio a voi.
ciao.
per quanto riguarda le soluzioni sintetiche-operative, lascio a voi.
ciao.
"orsoulx":
Vedetta??
Con la "n" mi sembrava troppo scontato.
Sono dati $BM$, $CN$ e $\angle A=pi/2$.
Se $G=BM\capCN$ allora $GB= 2/3 BN$.
Se $L$ è il punto medio di $BC$, $AL=BL$ e $GL=\frac {AL} 3=\frac {BL} 3$
Sia il cerchio $\omega$ il luogo dei punti il cui rapporto delle distanze da $G$ e $B$ è $1/3$.
\(\displaystyle LN\parallel CA \), quindi $LK=KN$, cioè $N$ è simmetrico di $L$ riepstto a $K$.
Quindi $N=\omega' \cap \theta$, dove $\omega'$ è il cerchio simmetrico di $\omega$ rispetto a $K$ e $\theta$ è il cerchio di centro $G$ e raggio $GN= frac {CN} 3$.
Conosciuto $N$, si ricostruisce tutto il resto del triangolo.
Se $G=BM\capCN$ allora $GB= 2/3 BN$.
Se $L$ è il punto medio di $BC$, $AL=BL$ e $GL=\frac {AL} 3=\frac {BL} 3$
Sia il cerchio $\omega$ il luogo dei punti il cui rapporto delle distanze da $G$ e $B$ è $1/3$.
\(\displaystyle LN\parallel CA \), quindi $LK=KN$, cioè $N$ è simmetrico di $L$ riepstto a $K$.
Quindi $N=\omega' \cap \theta$, dove $\omega'$ è il cerchio simmetrico di $\omega$ rispetto a $K$ e $\theta$ è il cerchio di centro $G$ e raggio $GN= frac {CN} 3$.
Conosciuto $N$, si ricostruisce tutto il resto del triangolo.
Cosí messa, la prova presenta un lacuna. Non difficile da colmare.
Qual è?
Qual è?
Una diversa (forse più diretta e semplice) soluzione.
Del triangolo $BGL$ si conosce il lato $BG$, il rapporto tra gli altri due ${LB}/{LG}=3$ e la mediana $LJ$.
Infatti se $J$ è il punto medio di $BG$, per Talete sul triangolo $GBC$, si ha che $LJ={GC}/2$.
Pertanto il punto $L$ è l'intersezione del cerchio di Apollonio di diametro $KM$ con $\theta$, il cerchio di centro $J$ e raggio ${CG}/2$.
Del triangolo $BGL$ si conosce il lato $BG$, il rapporto tra gli altri due ${LB}/{LG}=3$ e la mediana $LJ$.
Infatti se $J$ è il punto medio di $BG$, per Talete sul triangolo $GBC$, si ha che $LJ={GC}/2$.
Pertanto il punto $L$ è l'intersezione del cerchio di Apollonio di diametro $KM$ con $\theta$, il cerchio di centro $J$ e raggio ${CG}/2$.
Per completezza(visto che non costa molta fatica ), aggiungo che si hanno due soluzioni simmetriche, sse $JK<=JL<=JM$, ossia ${BM}/6 <= {CN}/3<=2/3BM$ cioé se nessuna delle due mediane è più di 2 volte l'altra.
), aggiungo che si hanno due soluzioni simmetriche, sse $JK<=JL<=JM$, ossia ${BM}/6 <= {CN}/3<=2/3BM$ cioé se nessuna delle due mediane è più di 2 volte l'altra.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo