Costruire un triangolo di cui si sa ...
Given two sides of the triangle.
Build that triangle, if medians to those sides are orthogonal.
Build that triangle, if medians to those sides are orthogonal.
Risposte
Una soluzione algebrica
Di questo problema, come degli altri proposti, ritengo di avere una soluzione completa.
In particolare di questo ho trovato una soluzione sintetica che passa per la soluzionedi un problema accessorio che di per sé sarebbe interessante e che , nel caso, proporro' in una discussione separata.
Interessante la soluzione algebrica: carino il sistema simmetrico che ne viene fuori, mi ricorda alcuni degli esercizi del primi anni del liceo. Se nessuno lo risolve prima, proverò a farlo io.
In particolare di questo ho trovato una soluzione sintetica che passa per la soluzionedi un problema accessorio che di per sé sarebbe interessante e che , nel caso, proporro' in una discussione separata.
Interessante la soluzione algebrica: carino il sistema simmetrico che ne viene fuori, mi ricorda alcuni degli esercizi del primi anni del liceo. Se nessuno lo risolve prima, proverò a farlo io.
con riferimento alla figura,
sono dati i lati BC ed AC e la perpendicolarità delle relative mediane BN ed AM.
Il punto N può essere determinato dall'intersezione della semicirconferenza di diametro BD, essendo D medio tra M e C, e il cerchio di centro C e raggio CN.
Il resto segue.
Una diversa soluzione è provare che questo problema dipende dalla soluzione del problema di costruire un triangolo rettangolo di cui si conoscone le mediane relative ai cateti.
Volendo, per le condizioni di esistenza della soluzione, si può aggiungere che il rapporto tra i lati dati non deve essere superiore a 4.
sono dati i lati BC ed AC e la perpendicolarità delle relative mediane BN ed AM.
Il punto N può essere determinato dall'intersezione della semicirconferenza di diametro BD, essendo D medio tra M e C, e il cerchio di centro C e raggio CN.
Il resto segue.
Una diversa soluzione è provare che questo problema dipende dalla soluzione del problema di costruire un triangolo rettangolo di cui si conoscone le mediane relative ai cateti.
Volendo, per le condizioni di esistenza della soluzione, si può aggiungere che il rapporto tra i lati dati non deve essere superiore a 4.
Una diversa soluzione.
Si costruisce un triangolo simile a quello richiesto. Per farlo, partendo dal lato incognito AB, si determina il terzo vertice C come intersezione tra il luogo dei punti P tali che il rapporto delle distanze PA e PB è uguale al rapporto dei lati dati (questo luogo è la ben nota circonferenza di Apollonio), con la circonferenza con centro il punto medio di AB e raggio 3GL=3AB/2.
Il triangolo richiesto si ricava da questo con un opportuna trasformazione di scala.
PS
esiste, oltre a quella che trasforma il problema in quello della costruzione di un triangolo equilatero di cui si conoscono le mediane, una IV soluzione.
Si costruisce un triangolo simile a quello richiesto. Per farlo, partendo dal lato incognito AB, si determina il terzo vertice C come intersezione tra il luogo dei punti P tali che il rapporto delle distanze PA e PB è uguale al rapporto dei lati dati (questo luogo è la ben nota circonferenza di Apollonio), con la circonferenza con centro il punto medio di AB e raggio 3GL=3AB/2.
Il triangolo richiesto si ricava da questo con un opportuna trasformazione di scala.
PS
esiste, oltre a quella che trasforma il problema in quello della costruzione di un triangolo equilatero di cui si conoscono le mediane, una IV soluzione.
Con riferimento alla figura,
si puo costruire un triangolo simile a quello cercato, partendo da un segmento qualsiasi AM e determinando il vertice C come intersezione tra il luogo dei punti P tali che PA/PM=2b/a, essendo a e b le misure dei lati noti (circonferenza di Apollonio che interseca AM nei punti G ed H), e la retta perpendicolare ad AM condotta per K, con K tale che M è il punto medio di GK.
Il resto segue facilmente.
[size=150]E' sbagliata.[/size]
si puo costruire un triangolo simile a quello cercato, partendo da un segmento qualsiasi AM e determinando il vertice C come intersezione tra il luogo dei punti P tali che PA/PM=2b/a, essendo a e b le misure dei lati noti (circonferenza di Apollonio che interseca AM nei punti G ed H), e la retta perpendicolare ad AM condotta per K, con K tale che M è il punto medio di GK.
Il resto segue facilmente.
[size=150]E' sbagliata.[/size]
Errata corrige del precedente post.
si puo costruire un triangolo simile a quello cercato, partendo da un segmento qualsiasi AM e determinando il vertice C come intersezione tra il luogo dei punti P tali che PA/PM=2b/a, essendo a e b le misure dei lati noti (circonferenza di Apollonio che interseca AM nei punti K ed H), e la retta perpendicolare ad AM condotta per M', con M' tale che AM=3MM'.
Il resto segue facilmente.
si puo costruire un triangolo simile a quello cercato, partendo da un segmento qualsiasi AM e determinando il vertice C come intersezione tra il luogo dei punti P tali che PA/PM=2b/a, essendo a e b le misure dei lati noti (circonferenza di Apollonio che interseca AM nei punti K ed H), e la retta perpendicolare ad AM condotta per M', con M' tale che AM=3MM'.
Il resto segue facilmente.
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