$\cos(k)\cos(2k)\cdots \cos(2^{n-1}k)$

[dan952]

Dimostrare che per ogni $k$ intero non nullo e $n$ numero naturale positivo vale

$2^n\cos(k)\cos(2k)\cdots \cos(2^{n-1}k) \ne 1$

Edit: come giustamente fatto notare da Giammaria gli angoli sono in radianti.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Quel uguaglianza è vera se e solo se
\[ 2^n \prod_{j=0}^{n-1} \cos(2^j k ) = 1 \]
se e solo se
\[ 2^n \prod_{j=0}^{n-1} T_{2^j}(\cos k) = 1 \]
se e solo se
\[ 2^n \prod_{j=0}^{n-1} \frac{1}{2^{2^j-1}} T_{2^j}(\cos k) = \prod_{j=0}^{n-1} \frac{1}{2^{2^j-1}}= \frac{2^n}{2^{2^n-1}} \]
se e solo se
\[ \prod_{j=0}^{n-1} \frac{1}{2^{2^j-1}} T_{2^j}(\cos k) = \frac{1}{2^{2^n-1}} \]
dove \(T_m \) è l'\(m\)-esimo polinomio di Chebyshev. E' risaputo che il polinomio \( \frac{1}{2^{n-1}} T_n(x) \) è quel polinomio monico di grado \(n\) che minimizza la norma uniforme nell'intervallo \([-1,1] \) e che questa norma vale proprio \( \frac{1}{2^{n-1}} \).

Noi abbiamo che
\[ \prod_{j=0}^{n-1} \frac{1}{2^{2^j-1}} T_{2^j}(\cos k) \]
è un polinomio monico di grado \( 2^n - 1 \) pertanto il polinomio \(\frac{1}{2^{2^n-2}}T_{2^n -1 }(x) \) minimizza la norma uniforme tra tutti i polinomi monici di grado \(2^n-1\) e questa norma vale \( \frac{1}{2^{2^n-2}} \) da cui
\[ \prod_{j=0}^{n-1} \begin{Vmatrix} \frac{1}{2^{2^j-1}} T_{2^j}(\cos k) \end{Vmatrix} \geq \begin{Vmatrix} \frac{1}{2^{2^n-2}}T_{2^n -1 }(x) \end{Vmatrix} = \frac{1}{2^{2^n-2}} > \frac{1}{2^{2^n-1}} \]

Edit: mi sa che ho detto delle cavolate, cioè ho detto cose giuste ma inutili... scusate sono in vacanza

[giammaria2]

"3m0o":... dove \(T_m \) è l'\(m\)-esimo polinomio di Chebyshev....

Non so se hai detto cose inutili o no, ma affermo che la tua risposta non è adatta a questa sezione, che è dedicata alla scuola secondaria.
A dan95 dico che sarebbe stato bene precisare che gli angoli sono in radianti. Altrimenti potrei usare i gradi, ed allora per $k=60; n=1$ avrei $2cosk=1$.
Comunque non saprei proprio da che parte cominciare per risolvere ed ho il forte sospetto che non sia un quesito da secondaria.

[dan952]

@3m0o
È semplice non scomodare i polinomi di Chebyshev
[ot]Ho notato il tuo hint nella sezione "pensare un po' di più" del problema che hai postato... Dammi qualche giorno che mi ci metto e lo risolvo (seguendo gli hint naturalmente, ormai ci sono )[/ot]

@Giammaria
Grazie dell'intervento.

Hint:

$2\cos(x)\sin(x)=\sin(2x)$

[giammaria2]

Grazie per l'hint, che rende facile la soluzione.

Detto $P_n$ il prodotto a primo membro, si ha

$P_n sin k=2^nsin k cosk cos2k* * *cos(2^(n-1)k)=2^(n-1)sin 2k cos 2k* * *cos(2^(n-1)k)=$

$\ \=2^(n-2)sin 4k cos 4k* * *cos(2^(n-1)k)=...=sin(2^nk)$

e quindi se $P_n=1$ si ha

$sin(2^nk)=sink$

da cui $2^n k=k+2m pi$ oppure $2^n k=pi-k+2m pi$. In entrambi i casi, $k$ è il prodotto di $pi$ per un numero razionale e quindi, zero a parte, è un numero trascendente: non può essere intero.

[dan952]

@giammaria

Bravo