Cose interessanti sui numeri di Fibonacci

[milizia96]

Oggi ho scoperto questa cosa, quindi la propongo a voi:
Sia $F_n$ l'$n$-esimo numero di Fibonacci ($F_0=0$, $F_1=1$)
Dimostrare che:
$$2\cdot F_k\cdot F_{k-1} + {F_k}^2=F_{2k}$$
per ogni $k$ intero positivo.

[Sk_Anonymous]

Scelgo la dimostrazione che segue ( una delle tante...).
Dapprima provo che :
A) $F(n+k)=F(k)F(n+1)+F(k-1)F(n)$
Fissato k , dimostro la (A) per induzione su n. Cioè, supposta vera la relazione per $p| 0<=p Poniamo allora nella (A), al posto di n, una volta n-2 ed un'altra n-1:
$ F(n-2+k)=F(k)F(n-1)+F(k-1)F(n-2)$
$ F(n-1+k)=F(k)F(n)+F(k-1)F(n-1)$
Sommando le due ultime relazioni :
$F(n-2+k)+F(n-1+k)=F(k)[F(n-1)+F(n)]+F(k-1)[F(n-2)+F(n-1)]$
Ovvero :
$F(n+k)=F(k)F(n+1)+F(k-1)F(n)$
che è proprio la (A)
Ponendo in essa $k=n$ :
(1) $F(2n)=F(n)F(n+1)+F(n-1)F(n)$
D'altra parte è :
$F(n-1)+F(n)=F(n+1)$
e moltiplicando per $F(n)$ :
(2) $F(n-1)F(n)+F^2(n)=F(n)F(n+1)$
Sottraendo la (2) dalla (1) :
$F(2n)-F(n-1)F(n)-F^2(n)=F(n-1)F(n)$
da cui :
$F(2n)=2F(n-1)F(n)+F^2(n)$
C.V.D.

[milizia96]

Bene!
Questo esercizio può insegnare che a volte, per dimostrare qualcosa, può essere conveniente dimostrare prima una versione generalizzata del fatto stesso, di cui il problema originale è solo un caso particolare.