Corde

[axpgn]

Si divida una circonferenza in $n$ parti uguali.
Si colleghi ognuno degli $n$ punti di divisione con un altro punto di divisione che si trovi $m$ passi avanti (solo corde, no diametri).
Dimostrare che per ciascuno dei punti interni alla circonferenza passano al massimo due di queste corde.


Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

"axpgn":Si divida una circonferenza in $n$ parti uguali.
Si colleghi ognuno degli $n$ punti di divisione con un altro punto di divisione che si trovi $m$ passi avanti (solo corde, no diametri).
Dimostrare che per ciascuno dei punti interni alla circonferenza passano al massimo due di queste corde.
Cordialmente, Alex

1) Mi pare che le corde NON passino per i punti della circonferenza , bensì siano segmenti che hanno per estremi due punti [distinti] della circonferenza.
2) Mi pare che ogni punto sia estremo di due e solo due corde. Perché dici "al massimo due" ?
3) Fatte al testo le correzioni suggerite in 1) e 2), mi pare che la tesi sia EVIDENTE, che quindi non ci sia nulla da dimostrare!
Semmai ... c'è da spiegare per chi non fosse d'accordo sulla evidenza della tesi.
E allora SPIEGO!
a) Deve essere $m≠n$, ... se no addio corda! Se $n$ è dispari non ci sono corde diametrali. Se $n$ è pari il testo esclude di prendere m = n/2 (o – ad essere pignoli – è vietato m mod n = n/2) . Insomma, deve essere:
n > 2, m mod n ≠ 0 e m mod n ≠ n/2.
b) Le corde sono una per ciascun punto, quindi il numero di corde è n come il numero di punti.
c) Ogni corda ha per estremi due punti distinti degli n. Necessariamente ognuno degli n punti deve essere estremo di due corde.
________

[axpgn]

@Erasmus

Mi sa che ti sei perso questo passaggio

"axpgn":Dimostrare che per ciascuno dei punti interni alla circonferenza passano al massimo due di queste corde.

Parlo dei punti interni alla circonferenza, non dei punti della circonferenza …

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Le corde in questione sono uguali perché sottendono archi uguali e perciò sono equidistanti dal centro; sono quindi tangenti ad una stessa circonferenza $gamma$ concentrica con la prima. Se due di queste corde si incontrano in un punto P (che è esterno a $gamma$), per P non può passare una terza corda perché per un punto esterno ad una circonferenza passano due sole tangenti ad essa.

Inizialmente avevo frainteso il problema, trovandone uno che non saprei risolvere anche se intuitivamente mi sembra giusto: dimostrare che per ogni punto interno passano al massimo due corde non diametrali dell'ennagono regolare, anche con $m$ diverse.

Siamo proprio in così pochi a frequentare questa sezione del forum? Utenti che mi state leggendo, vi prego di farvi vivi.

[axpgn]

Perfetto!

[ot]È curioso che sia tu che Erasmus, gli unici due intervenuti, abbiate frainteso il testo, eppure mi sembrava chiaro … oppure no ?

Per il resto ... non si era in tanti prima, adesso ... ... se poi anche chi interviene, dopo non si fa più vedere, quanto meno per controllare le risposte al suo intervento ... (battuta, non sia mai che si offenda )[/ot]

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

"axpgn":@Erasmus
Mi sa che ti sei perso questo passaggio.
[quote="axpgn"]Dimostrare che per ciascuno dei punti interni alla circonferenza passano al massimo due di queste corde.

[/quote]Vero.- Avevo frainteso perché ... avevo letto male!
Vedo ora la soluzione di giammaria.
Ne propongo un'altra leggermente diversa.

Noto il numero n di punti che suddividono la circonferenza in n archi uguali, se n è pari il testo impone che sia m≠ n/2. Allora ogni corda i può ottenere da una medesima corda mediante una rotazione rigida attorno al centro del cerchio di un angolo che è un multiplo di (2π)/n. Se l'angolo di rotazione non è un multiplo dell'angolo giro – nel qual caso la rotaziine sarebbe l'identità – la rotazione è una isometria che ha un unico punto unito: il centro di rotazione.
Consideriamo un punto P intersezione di due di quelle n corde – che diciamo a e b –. Una terza corda – diciamola c – è pnsabile ottenuta da una da a o da b (ad entrambe le quali appartiene P) con una rotazione. Siccome nella rotazione l'unico punto unito è il centro della circonferenza, al punto P (che non è il centro della circonferenza) corrisponde necesariamente un punto distinto da P. Quindi una terza corda NON passa per P.

NB. Non è necessario precisare che P appartiene al cerchio (ma è distinto dal suo centro) e parlare di intersezioni di corde!
Al posto elle corde (che sono segmenti con estremi due degli n punti di suddivisione della circonferenza) si possono assumere le rette prolungamenti di queste corde, passanti cioè per una coppia di quei punti estremi di un arco di angolo al centro
m(2π/n)
e lasciare che P sia un qualunque punto del piano del cerchio tranne il centro di questo.
Insomma: in quiz potrebbe essere più generale ... come segue:
Si divida lana circonferenza di un cerchio in $n$ parti uguali con n punti $A_k$ (con k = 1, 2, 3, ..., n).
Delle n(n–1)/2 coppie di quesrti punti si considerino le n coppie di punti estremi di archi con angolo al centro m(2π/n (dove m è intero ed è 0 n coppie di tali punti.
Dimostrare che per ciascun punto P del piano de cerchio passano al massimo due di queste rette.

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[orsoulx]

"giammaria":dimostrare che per ogni punto interno passano al massimo due corde non diametrali dell'ennagono regolare, anche con m diverse.

Nel dodecagono regolare esistono punti per cui passano $ 4 $ corde (quelle rosse) e punti par cui passano $ 3 $ corde (quelle blu). La corda nera è da intendersi tanto rossa quanto blu. In altri n-goni ho trovato anche punti per cui passano $ 6 $ corde diverse.
I punti esterni alla circonferenza sono relativi all'estensione proposta da Erasmus.
Da una settimana gioco con questo problema, scoprendo tante proprietà che non conoscevo.
Grazie giammaria
Ciao

[giammaria2]

E grazie a te, orsoulx, per aver risolto il mio dubbio.