Corda parallela alle basi di'un trapezio che ne divide l'area a metà

[Erasmus_First]

Si può dividere un trapezio in due trapezi di area uguale in infiniti modi tracciando un segmento-corda opportuno tra due punti del suo perimetro; in particolare congiungendo con un segmento i punti medi delle basi (ottenendo così due trapezi con la stessa altezza e con le basi lunghe metà delle basi del dato trapezio) o tracciando una corda parallela alle basi a distanza opportuna da una e dall'altra.

Metto un quiz di geometria che si riferisce a quest'ultimo modo di dividere il trapezio in due trapezi di uguale area.
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Dato un trapezio, diciamolo HKMN, la base maggiore sia HK e la minore sia NM.
Sia B la lunghezza della base maggiore, b quella della base minore e sia h l'altezza del trapezio (distanza tra le parallele HK ed NM).
Si tracci la corda RS parallela alle basi che divide il trapezio in due trapezi di area uguale (cioè pari a metà dell'area del dato trapezio); e sia x la lunghezza della corda RS . [V. figura]

..|............. N •–––– b ––––•  M  .........|..
  |              /               \            z 
  h          R /___ ____ x ________\ S  ......|..
  |          /                       \        y  
..|.....  H •––––––––––– B ––––––––––––• K ...|..  

[size=120]a) Supposto che le basi HK e NM siano commensurabili (cioè che il rapporto b/B sia razionale), è o non è la corda RS commensurabile con esse?
[Cioè: sono o non sono x/B ed x/b razionali se è razionale b/B?]
b) Sia y l'altezza del trapezio HKSR (di base maggiore lunga B e base minore lunga x) e sia z l'altezza del trapezio RSMN (di base maggiore lunga x e base minore lunga b).
Calcolare y e z in funzione dei dati B, b ed h.[/size]
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[Vincent46]

Poiché sia l'area del trapezio minore che quella del trapezio maggiore sono metà dell'area dell'intero trapezio, si ha che
$$z\frac{(x+b)}{2}=y\frac{(x+B)}{2}=h\frac{(b+B)}{4}$$
da cui seguono
$$\frac{z}{h}=\frac{b+B}{2(x+b)}$$
$$\frac{y}{h}=\frac{b+B}{2(x+B)}$$
Ma allora, sommando le due, si ottiene che
$$\frac{z}{h}+\frac{y}{h} = 1 = \frac{b+B}{2(x+b)}+\frac{b+B}{2(x+B)}$$
relazione che contiene solo $x, b, B$ da cui si ricava $x=sqrt{\frac{b^2+B^2}{2}}$

Riguardo alla questione della razionalità, direi che dipende. Ad esempio se $b=1, B=7$ si ottiene che $x=5$. Invece, se $b=1, B=2$ si ottiene $x=sqrt{\frac{5]{2}}$. In particolare, i due rapporti $x/b$, $x/B$ sono razionali se e solo se, detto $p/q$ il rapporto $b/B$ semplificato ai minimi termini, si ha che $p^2+q^2$ è il doppio di un quadrato perfetto.

Le due altezze y e z si possono ricavare dalla prima relazione che ho scritto, dopo che sia stata trasformata in un opportuno sistema di due equazioni in due incognite, e dopo aver sostituito $h=y+z$.

[Erasmus_First]

"Vincent46":[...] Ad esempio se $b=1, B=7$ si ottiene che $x=5$.

Un altro esempio è [b,B] = [7, 17].
$7^2 + 17^2 = 49 + 289 = 338 = 2·169 = 2·13^2$

"Vincent46": [...]i due rapporti $x/b$, $x/B$ sono razionali se e solo se, detto $p/q$ il rapporto $b/B$ semplificato ai minimi termini, si ha che $p^2+q^2$ è il doppio di un quadrato perfetto..

Però ... potevi fare lo sforzo di scrivere anche y e z in funzione di b e B.
$y = ((b+B)h)/(sqrt(2(b^2 + B^2)) + 2B)$; $z = ((b+B)h)/(sqrt(2(b^2 + B^2)) + 2b)$;

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[orsoulx]

La questione della commensurabilità di $ B, b $ e $ x $ è riconducibile a quella dei lati di un triangolo rettangolo.
Assegnati i due razionali $ B $ e $ b $, $ x $ è la misura dell'ipotenusa del triangolo rettangolo avente cateti le cui misure sono la semisomma e la semidifferenza di quelle date; viceversa assegnato un triangolo rettangolo di cateti $ c_1$ e $ c_2 $ con $ c_1>c_2 $, il trapezio avente per basi la differenza e la somma dei cateti ( $ b=c_1-c_2; B=c_1+c_2 $ ) sarà diviso in due trapezi equiestesi dalla parallela alle basi congruente all'ipotenusa del triangolo.
Quando i tre segmenti sono commensurabili, il rapporto fra le altezze dei due trapezi equiestesi è una semplicissima espressione dei generatori della terna pitagorica primitiva corrispondente alle misure di $ B $ e $ b $

Ciao
B.

[Erasmus_First]

"orsoulx":Assegnati i due razionali $ B $ e $ b $, $ x $ è la misura dell'ipotenusa del triangolo rettangolo avente cateti le cui misure sono la semisomma e la semidifferenza di quelle date.

Piccola anamnesi:
• Con l'espressione "terna primitiva" si intenda una terna di interi positivi distinti [u, v, w] coprimi,
[cioè: M CD(u, v, w) = 1].
• Con l'espressione "terna pitagorica" si intenda una terna di interi positivi distinti [x, y, z] tali che sia $z^2 = x^2 + y^2 $.
• Si trova che in ogni terna pitagorica primitiva l'intero maggiore z è del tipo 4n+1 (con n intero positivo opportuno); e dei due interi (maggiori di 2) x e y uno è dispari e l'altro è pari e doppio di un pari, (cioè divisibile per 4).
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Il problema della commensurabilità dei tre segmenti lunghi b, B e x (di cui nel quiz attuale) è riducibile alla ricerca di terne di interi distinti [u, v, w] tali che sia $u^2 + v^2 = 2w^2$

In sostanza, c'è corrispondenza biunivoca tra le terne pitagoriche primitive [x, y, z] e le terne primitive [u, v, w] tali che sia $u^2 + v^2 = 2w^2$
e questa corrispondenza è di una semplicità... disarmante!
E' quella che dice appunto orsoulx, cioè:
• Per ogni terna primitiva [u, v, w] tale che sia $2w^2 = u^2 + v^2$ è pitagorica primitiva la terna $[|u-v|/2, (u+v)/2, w]$.
• Per ogni terna pitagorica primitiva [x, y, z] $u =|x - y|$ ∧ $v = x + y$ ⇒ $u^2 + v^2 = 2z^2$ (cioè w = z)
Infatti, se [x,y, z] è una terna pitagorica (per cui $z^2 = x^2 + y^2$), allora:
$|x-y|^2 + (x+y)^2 = x^2 -2xy + y^2 + x^2 + 2xy + y^2 = 2(x^2 + y^2) = 2z^2$.
Corollario:
• In ogni terna primitiva [u, v, w] tale che sia $u^2 + v^2 = 2w^2$, gli interi u, v e w sono tutti dispari.
• Se alla terna pitagorica primitiva [x, y, z] è associata la terna primitiva [u, v, w] nel senso che
[u, v, w] = [|x - y|, x + y, z] (per cui $u^2 + v^2 = 2w^2)$
allora alla terna pitagorica non primitiva
[x', y', z'] = q[x, y, z] (dove q è un qualsiasi intero maggiore di 1)
è associata la terna non primitiva [u', v', w'] = q[u, v, w] nel senso che
[u', v', w'] = [!x' - y'|, x' + y', z'] (per cui $u'^2 + v'^2 = 2w'^2$).
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Come mi pare d'aver già detto altrove, tutte e sole le terne pitagoriche primitive stanno in un albero ternario (infinito) nel quale nella radice ci sta [3, 4, 5] e da ogni nodo si passa ai tre suoi discendenti moltiplicando la terna che sta nel nodo per ciascuna di tre matrici costanti A, C e B ... come si capisce dalla seguente figura.

–––> Albero ternario delle Terne Pitagoriche Primitive (TPP)

Pertanto, ci sarà anche un analogo albero ternario che contiene tutte le terne primitive di cui stiamo parlando (che ho indicato con [u, v, w] tali che $u^2 + v^2 = 2w^2$).
Per passare da una terna pitagorica t =[x, y, z] in cui sia x < y < z alla associata r =[u, v, w] = [–x+y, x+y, z] serve la matrice seguente – diciamola $K$ –

|-1/2, 1/2, 0|
| 1/2, 1/2, 0|
|   0,   0, 1|

cioè
$r = t·K$.
Viceversa, per passare da r a t serve la matrice inversa di K – diciamola $K^(-1)$ – che è la seguente

|-1, 1, 0|
| 1, 1, 0|
| 0, 0, 1|

e allora
$t = r·K^(-1)$ (*)

Siano r' successore di r e t' successore di t.
Allora $t' = t·M$, dove M è una delle matrici A, B e C della figura e [tenendo anche conto della (*)]
$r' = t'K = t·M·K = r· K^(-1)·M·K$.

Dunque, l'albero ternario delle terne di cui stiamo parlando si ottiene pari-pari da quello delle terne Pitagoriche Primitive (di figura) sostituendo nella radice [3, 4, 5] con [1, 7, 5] e poi sostituendo le matrici A, C e B rispettivamente con
$A_r = K^(-1)·A·K$;
$C_r = K^(-1)·C·K$;
$B_r = K^(-1)·B·K$.

In particolare la matrice $C_r = K^(–1)·C·K$ risulta la seguente:

!1, 0, 0|
|0, 3, 2|
|0, 4, 3|

Aad una progressione geometrica di terne pitagoriche $t_n$ di ragione C (le quali hanno tutte la medesima differenza tra le prime due componenti – diciamola $e = |y_0 - x_0|$ –, corrisponde dunque la progressione di terne $r_n$ di ragione $C_r$ che hanno la prima componente costante (che vale sempre $e$). Al crescere dell'indice di questa successione, interpretando la prima e la seconda componente come basi rispettivamente minore e maggiore di un trapezio, questo tende alla forma triangolare perché continua a crescere la base maggiore mentre la minore resta costante.
Ed infatti il rapporto tra la seconda componente e la terza (interpretabile come corda parallela alle basi che divide il trapezio in due trapezi di area uguale) tende a $sqrt2$.
Per esempio, partendo dal rettangolo con due lati paralleli lunghi 1 per il quale è in cui è $r_(-1) = [1,1,1]$, i primi 4 termini della successione vengono
[1, 7, 5] . . . . . . . . . $sqrt2·5 ≈ 7,07$
[1, 41, 29] . . . . . . . .$sqrt2·29 ≈ 41,01$
[1, 239, 169] . . . . . .$sqrt2·169 ≈ 239,002$
[1, 1393, 985] . . . . .$sqrt2·985 ≈1393,00036$

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[Vincent46]

Bellissima analisi. Non conoscevo l'albero delle terne pitagoriche primitive. Non si finisce mai di imparare!