Coprire poligoni

[milizia96]

Dimostrare che è sempre possibile ricoprire un poligono convesso di area 1 con un parallelogramma di area 2.
Si intende ricoprire completamente.

[gio73]

Sicuramente non arriverò da nessuna parte...
proviamo a fare qualche domanda a cui si risponde con un sì o un no:
conviene dividere il poligono convesso in tanti triangolini quanti sono i lati, scegliendo come vertice comune a tutti i triangolini un punto interno al poligono convesso?

[milizia96]

No.
Anche io ci avevo pensato mentre cercavo di risolvere il problema, ma quella strada non mi ha portato da nessuna parte.
Ovviamente non è detto che non serva a niente... quello che è sicuro è che esiste una strada che non passa da quell'operazione.

Intanto un aiuto in spoiler:

Dimostrare che è sempre possibile ricoprire un poligono convesso di area 1 con un RETTANGOLO di area 2

[xXStephXx]

Non riesco a usare direttamente l'hint, però forse

Ho provato solo con figure abbastanza comode, quindi non sono sicuro
Parrebbe che si può procedere così:
- traccio una retta passante per un vertice a caso che non taglia il poligono
- traccio una retta parallela alla precedente in modo che passa per un altro vertice della figura senza tagliarla. (Alla peggio passerà per un lato, ma non dovrebbe guastare le cose )
- ora tutto il poligono è contenuto tra queste due rette. Adesso collego i due vertici da cui passavano quelle due rette e ottengo una diagonale.
-Adesso traccio le due rette parallele alla diagonale di prima che passano per due vertici del poligono senza tagliarlo.
- Si genera un parallelogramma che contiene il poligono.
- Ha al massimo area $2$ perchè tracciando le parallele ai lati del parallelogramma da ognuno dei 4 punti di intersezione si ottengono 4 parallelogrammi ognuno dei quali contiene un pezzo di poligono dove la poligonale passa sopra la diagonale e quindi la parte che sta fuori è minore di quella che sta dentro... E qua penso che a parole non si capisce niente ma con una figura sarebbe tutto più comodo


Poi se avessi la certezza che posso scegliere una coppia di punti tali che tracciando la diagonale, la retta perpendicolare alla diagonle e passante per quei due punti non intersechi il poligono ottengo un rettangolo

[milizia96]

Uhm hai ragione, non c'è bisogno di fare la dimostrazione col rettangolo, perché si riesce direttamente col parallelogramma...
L'unica cosa che forse non ho capito perfettamente è la suddivisione in 4 parallelogrammi che fai verso la fine. Adesso cerco di scriverla io così mi dici se ho colto il punto:

Sia $A$ il vertice per cui hai fatto passare la retta nel tuo passo (1), e sia $l$ la retta.
Sia $B$ il vertice per cui hai fatto passare la retta nel tuo passo (2),
Siano $C$ e $D$ i vertici per cui fai passare le rette al passo (4).
Sia $M$ l'intersezione tra $AB$ e la retta passante per $C$ parallela a $r$.
Sia $N$ l'intersezione tra $AB$ e la retta passante per $D$ parallela a $r$.
I parallelogrammi da considerare sono (scrivo solo tre vertici perché il quarto è univocamente determinato):
$CMB$, $CMA$, $DNB$, $DNA$
Ho capito bene?

Così dovrebbe andare bene... perché ti rimanevano dubbi?

Effettivamente ora mi rendo conto che dimostrare la stessa cosa per i rettangoli è un po' più difficile...
Quindi vediamo chi per primo ci riesce!

[xXStephXx]

Si intendevo quei parallelogrammi e non avevo controllato bene il caso in cui una parallela passasse per un intero lato ma poi ho controllato e prendendo uno dei due punti a caso dovrebbe funzionare.

Per i rettangoli non ne ho idea xD In teoria se si trovasse una coppia di vertici tali che tracciando le perpendicolari ai lati adiacenti ad un vertice e passanti per quel vertice la regione compresa tra queste due rette contiene anche l'altro vertice e viceversa (cioè facendo la stessa cosa con l'altro vertice) si può trovare un rettangolo. Che però non riesco a dimostrare che accade sempre ...Oppure magari si bara un po' supponendo che due angoli siano acuti

[Andrea571]

Solo una cosa (E' possibile che stia dicendo una grande cavolata, vi avverto ):

Prendiamo un triangolo rettangolo di lato $sqrt(2)$, la sua area sarà quindi $1$ (Ma questo triangolo, è stato ottenuto tagliando un quadrato di lato $sqrt(2)$ (e quindi area $2$) lungo una sua bisettrice, quindi per ricoprire interamente questo triangolo senza superare area $2$ abbiamo bisogno necessariamente di quel quadrato, quindi la possibilità di ricoprirlo con un rettangolo è da escludersi perché avrebbe area maggiore di $2$!)

[milizia96]

Ma un quadrato è un rettangolo

[Andrea571]

"milizia96":Ma un quadrato è un rettangolo

[xXStephXx]

Ah me l'ero quasi scordato Alla fine ho chiesto aiuto... anche se mancava poco!

Parrebbe che per fare il rettangolo basta prendere la diagonale più lunga, infatti quella divide i due angoli in $4$ angoli acuti e si viene a creare la situazione che avevo claimato sopra. (Se uno dei 4 angoli fosse ottuso si forma un triangolo ottusangolo e ci sarebbe una diagonale ancora più lunga).

[milizia96]

Senza mettere in ballo gli angoli, se prendi la diagonale più lunga di sicuro tutti i vertici del poligono stanno nella striscia di cui quella diagonale è lo spessore...

[xXStephXx]

Ah già In effetti sarebbe bastato quello sin dall'inizio... mi stavo complicando parecchio le cose xD