Combinatoria base
In quanti modi posso scrivere 6^20 come somma di tre interi positivi (non importa in quale ordine)?
Risposte
I tre interi positivi devono essere distinti tra loro?
Non necessariamente 
Considerando l'ordine dei numeri (ovvero la somma 1+2+3 diversa dalla somma 2+3+1), le possibilità complessive sono $ sum_(n=1)^(6^20-2)$, ovvero $((6^20-2)(6^20-1))/2$.
Adesso possiamo distinguere tre casi:
1) Abbiamo una somma di tre numeri uguali, e in tal caso abbiamo una sola possibilità, ovvero 3 volte $6^20/3$.
2) Abbiamo una somma di due numeri uguali e uno diverso, e in tal caso le possibilità sono $(6^20-2)/2-1$, ognuna delle quali ha tre possibili permutazioni.
3) Abbiamo una somma di tre numeri diversi, e per ottenere tutte le possibilità sottraiamo alle possibilità complessive i casi precedenti e dividiamo il tutto per 6, poiché ogni possibilità ha 6 possibili permutazioni. Otteniamo: $(((6^20-2)(6^20-1))/2-3*((6^20-2)/2-1)-1)/6$
La nostra risposta sarà data dalla somma dei casi 1, 2 e 3, ovvero:
$(((6^20-2)(6^20-1))/2-3*((6^20-2)/2-1)-1)/6+((6^20-2)/2-1)+1$
Preferirei non svolgere i calcoli...
Adesso possiamo distinguere tre casi:
1) Abbiamo una somma di tre numeri uguali, e in tal caso abbiamo una sola possibilità, ovvero 3 volte $6^20/3$.
2) Abbiamo una somma di due numeri uguali e uno diverso, e in tal caso le possibilità sono $(6^20-2)/2-1$, ognuna delle quali ha tre possibili permutazioni.
3) Abbiamo una somma di tre numeri diversi, e per ottenere tutte le possibilità sottraiamo alle possibilità complessive i casi precedenti e dividiamo il tutto per 6, poiché ogni possibilità ha 6 possibili permutazioni. Otteniamo: $(((6^20-2)(6^20-1))/2-3*((6^20-2)/2-1)-1)/6$
La nostra risposta sarà data dalla somma dei casi 1, 2 e 3, ovvero:
$(((6^20-2)(6^20-1))/2-3*((6^20-2)/2-1)-1)/6+((6^20-2)/2-1)+1$
Preferirei non svolgere i calcoli...
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