Cifre che crescono

[axpgn]

Quanti sono gli interi positivi tali che le cifre da cui sono formati aumentino letti da sinistra a destra?
Es. $19, 357, 2589$

Quanti sono i quadrati perfetti tali che le cifre da cui sono formati non diminuiscano lette da sinistra a destra?
Es. $12^2=144, 13^2=169, 83^2=6889$


Cordialmente, Alex

[Mathita]

Propongo una soluzione per il primo quesito.

Sia $N={1,2,...,9} $ l'insieme delle cifre da 1 a 9. Possiamo interpretare un intero positivo di $1\le k\le 9$ cifre distinte come un sottoinsieme di cardinalità $k$ di $N$, composto da $k$ elementi distinti. Per esempio al numero 123 associamo l'insieme ${1,2,3}$ e viceversa.

Il numero di sottoinsieme di $N$ di ordine $k$ è dato da $9Ck$: ciò vuol dire che $9Ck$ è il numero di interi positivi con $k$ cifre distinte e strettamente crescenti.

Questa cosa andrebbe dimostrata: l'idea è che, dato un insieme di elementi distinti, è sempre possibile riscriverlo ordinando i suoi elementi dal più piccolo al più grande.

Si può dimostrare che la mappa che associa a un sottoinsieme di elementi distinti e ordinati di N il numero intero di k cifre strettamente crescenti è una biezione, garantendo l'uguaglianza tra il numero di sottoinsiemi di cardinalità k e il numero di interi positivi di k cifre strettamente crescenti.

Riassumendo: il numero di interi positivi a k cifre strettamente crescenti è $9Ck$ con $k\in N$. Sommando $9Ck$ per k da 1 a 9, otteniamo il numero richiesto:

$\sum_{k=1}^{9}9Ck=2^9-1=511$

Per il secondo non ho ancora trovato una formalizzazione tale da risolverlo. :/

[axpgn]

Perfetto! Anch'io l'ho pensata cosí

Non c'è simmetria però, da destra a sinistra sono il doppio

Cordialmente, Alex

[Mathita]

"axpgn":Non c'è simmetria però...

Vero! Non c'è simmetria per via dello zero alle unità! Epperò, ancora non ho una soluzione per il quesito 2.

[giammaria2]

Anche io non ho soluzione per il quesito 2; la risposta che davo al primo differisce leggermente da quella di Mathita.

Ammettendo che con la scritta $9Ck$ si intenda quello che io indico con $C_(9,k)$, escluderei anche $k=1$ perché con una sola cifra il verbo "aumentare" perde significato. La mia risposta è quindi $2^9-1-9=502$.

[Mathita]

Aaargh, maledetta semantica!

[ot]Come mi arrampico sugli specchi? Mmm, posso dire che la funzione identità da un singleton a sé stesso è strettamente crescente? I.E. $Id:{k}\to {k}$ è una funzione strettamente crescente? Mi verrebbe da dire di sì perché è una verità vuota.[/ot]

[axpgn]

Io la penso come te (e anche l'autore del problema )
Sono quelle verità "vacue" che piacciono tanto ai matematici

[Mathita]

Mi ero ripromesso di occuparmi del secondo quesito oggi, ma, causa imprevisti, non sono riuscito a concludere nulla. La strategia che avevo in mente non funziona (o meglio, non sono riuscito a farla funzionare). La riporto in spoiler.

Molto semplicemente scrivo l'espansione polinomiale di un generico numero naturale di n cifre, la elevo al quadrato e ricavo i coefficienti di $10^k$ per k da 0 a 2n. Fatto questo, avrei voluto usare la condizione imposta dal quesito: il coefficiente di $10^k$ deve essere minore o uguale a quello di $10^{k-1}$, per ogni k. I calcoli, sinceramente bruttini, non hanno prodotto il risultato sperato.

[dan952]

Propongo un idea un po' "calcolosa" per il secondo

...

[Mathita]

Claim: la risposta al quesito 2 è infinito numerabile.

[axpgn]

Li hai contati tutti?

Posta qualche esempio, però ...

Cordialmente, Alex

[Mathita]

Sei stato moooolto cattivo a 'sto giro. (Lo dico con affetto) . Ora sono da smartphone e mi viene difficile scrivere il ragionamento che ho seguito. In spoiler l'esempio.

$35^2, 335^2, 3335^2,...$

[axpgn]

"Mathita":Sei stato moooolto cattivo a 'sto giro.

Really? Mi sembrava poco impegnativo (soprattutto per gente come voi, lo dico sinceramente )
È perché sei partito dal "basso" invece che "dall'alto"

Il primo esempio è il numero formato da tutti $6$ (poniamo $n$) tranne la cifra delle unità pari a $7$.
Equivale a $2/3*10^(n+1)+1/3$, il cui quadrato è $4/9*10^(n+2)+4/9*10^(n+1)+1/9$ la cui rappresentazione decimale è composta $n+1$ volte la cifra $4$ seguita $n$ volte la cifra $8$ con $9$ finale.
Peraltro il $35$ è preceduto dal $34$
Esistono infinite famiglie cosiffatte

Cordialmente, Alex

[Mathita]

Sì, hai ragione. Concettualmente il quesito era semplice. E la soluzione è la stessa che hai seguito tu (segnalo un typo, manca un 2 che moltiplica n all' esponente del primo 10 nel quadrato). Mi ha fregato la convinzione del fatto che fossero in numero finito. :s

[axpgn]

"Mathita":(segnalo un typo, manca un 2 che moltiplica n all' esponente del primo 10 nel quadrato).

Vero, la versione corretta è questa:

... Equivale a $ 2/3*10^(n+1)+1/3 $, il cui quadrato è $ 4/9*10^(2n+2)+4/9*10^(n+1)+1/9 $ la cui rappresentazione decimale è composta $ n+1 $ volte la cifra $ 4 $ seguita $ n $ volte la cifra $ 8 $ con $ 9 $ finale.

Cordialmente, Alex