Chi è il più grosso?

[Essor2]

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Ho la sensazione che sia più facile di quanto sembri ma non riesco a trovare un'idea carina per risolverlo. Qualche idea?

[axpgn]

Ci provo ...

[size=150]$a^ab^b>=(ab)^((a+b)/2)\ ->\ a^(2a)b^(2b)>=(ab)^(a+b)\ ->\ $

$a^a*a^a*b^b*b^b>=a^a*a^b*b^a*b^b\ ->\ a^a*b^b>=a^b*b^a$[/size]

Poniamo che sia $a>b\ ->\ b+k>b$ allora

$a^(b+k)*b^b>=a^b*b^(b+k)\ ->\ a^b*a^k*b^b>=a^b*b^b*b^k\ ->\ a^k>=b^k$

Cordialmente, Alex

P.S.: per favore scrivi le formule e non allegare immagini che si capiscono poco ...

[dan952]

Certamente il mio...ah dei prodotti dici?!

Supponiamo $a \geq b$, allora
$a \geq \sqrt{ab} \Rightarrow a^{a-b} \geq a^{\frac{a-b}{2}}b^{\frac{a-b}{2}}$
moltiplichi l'ultima disuguaglianza per $a^{b}b^{b}$ e hai concluso

[Erasmus_First]

"Essor2":

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[...] non riesco a trovare un'idea carina per risolverlo. Qualche idea?

Porre $r=(a^ab^b)/(ab)^((a+b)/2)$ e constatare che se è $a=b$ allora è $r=1$ altrimenti [cioè se è $a≠b$, ossia $a>b$ oppure $b>a$] allora è $r>1$. Infatti si ha subito (semplificando tra numeratore e denominatore):
$r = (a^ab^b)/(ab)^((a+b)/2) = a^((a-b)/2)·b^((b-a)/2) =(a/b)^((a-b)/2) = (b/a)^((b-a)/2)$.
• Se è $a=b$ viene $r=1^0 = 1$; altrimenti
•• se è $a>b$ la scrittura di $r$ nella forma del penultimo membro evidenzia che è $r>1$: $r=(a/b)^((a-b)/2$; altrimenti
••• {se è $b>a$} è la scrittura di $r$ nella forma dell'ultimo membro che evidenzia che è $r>1$: $r=(b/a)^((b-a)/2$.
_______

[veciorik]

Tesi: $ \qquad a^a b^b\geq(ab)^{(a+b)/2}$
Definisco $ \quad s=(a+b)/2>0 \qquad $ e $ \qquad d=(a-b)/2 $
La tesi diventa $ \qquad a^{s+d} \ b^{s-d}=(ab)^s \ (a/b)^d \quad \geq \quad (ab)^s$
Ovvero $ \qquad (a/b)^d \quad \geq 1 $
Per $ \ a=b \qquad d=0 \quad \rightarrow \quad (a/b)^d = 1^0 = 1$
Per $ \ a>b \qquad d>0 \quad \rightarrow \quad a/b>1 \quad \rightarrow \quad (a/b)^d>1$
Per $ \ a1 \quad \rightarrow \quad (a/b)^d= \quad (b/a)^(-d)>1$