Cerchio e triangolo

[dan952]

un triangolo, le cui lunghezze dei lati sono date
da numeri interi di metri, e da un cerchio inscritto. Se si
aumentasse di due metri la lunghezza del lato più lungo, si
otterrebbe la somma delle lunghezze degli altri due lati. Il raggio
del cerchio inscritto è un numero intero di metri. La superficie
del triangolo è di 2016 m2
.
Qual è, in metri, il perimetro del triangolo?

[Erasmus_First]

Indico come si può risolvere facilmente il problema per tantativi.
Non so se esista un procedimento sintetico più sbrigativo.
Siccome non posso più programmare non sono in grado di dare un seguito sbrigativo al procedimento risolutivo che indico. Ma penso che qualcun altro – per esempio axpgn – possa risolvere il quiz col procedimento da me applicato in un battibaleno!

Essendo $2016 = 2^5· 3^2·7 $, detti $[a, b. c]$ i lati in ordine crescente, sapendo che è $c=a+b-2$, con la formula di Erone per l'are del trianglo ricavo
$(a+b-1)(b-1)(a-1)·1 = 2^10·3^4·7^2$
Pongo per comodità
$a = x+1$; $b=y+1$
e l'equzione di sopra diventa
$(x+y+1)xy = 2^10·3^4·7^2$ (*)
Con un facile programmino posso cercare le coppie di interi positivi $[x, y]$ che risolvono questa equazione diofantea.
Infine il quadrato del raggio del cerchio inscritto è
$ r^2 = (ab)/(a+b-1)-1 = (xy)/(x+y+1)$.
Affinché r sia intero occorre che il prodotto $xy)$ sia divisibile per la somma $x+y+1$ ed il quoziente sia il quadrato d'un intero.
Fra le soluzioni della (*) occorre dunque scegliere quella (o quelle) per cui il rapposto $(xy)/(x+y+1)$ è il quadrato d'un intero.
Infine, il perimetro (o i perimetri) richiesto sarà 2(x+y+1).

[axpgn]

"Erasmus_First":Ma penso che qualcun altro – per esempio axpgn – possa risolvere il quiz col procedimento da me applicato in un battibaleno!

Ho il computer rotto ... però mi sono arrangiato ...

Usando quanto detto da Erasmus avrei trovato questa soluzione $a=64, b=225, c=287$

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

@Erasmus_First
La tua prima formula va corretta in
$(a+b-1)(b-1)(a-1)·1 = 2^10·3^4·7^2$
E' solo un errore di digitazione, perché poi ne deduci una formula giusta.

Però, in esercizi di questo tipo, il proporre di ricorrere al computer equivale al dichiararsi sconfitti e suggerisco a tutti (anche a me) di continuare a cercare una soluzione diversa.
Una via, ancora troppo lunga se fatta a mano, può essere notare che dei tre fattori $x, y, x+y+1$ uno deve essere dispari e quindi del tipo $3^h*7^k$ con $h=0,1,2,3,4$ e $k=0,1,2$ (15 possibilità).
Supponendo che quel fattore sia $x$, gli assegniamo questi valori e ricaviamo $y$ dall'equazione, scartando i casi di soluzioni non intere. La simmetria rende inutile considerare il caso in cui quel fattore è $y$; se invece è dispari $z=x+y+1$, esprimiamo in funzione di $z$ una fra $x,y$ e procediamo nello stesso modo. In totale, si tratta di risolvere 30 equazioni di secondo grado.

Al momento di inviare, vedo la soluzione di axpgn: decisamente apprezzabile, ma se è stata ottenuta al computer lascia invariata la mia osservazione.

[Erasmus_First]

"giammaria":@Erasmus_First
La tua prima formula va corretta in
$(a+b-1)(b-1)(a-1)·1 = 2^10·3^4·7^2$

Sì. Grazie della segnalazione.
Ho editato e corretto (e corretti altri errori di battitura).
______

[Erasmus_First]

"axpgn":Ho il computer rotto ... però mi sono arrangiato ...

Bravo!

"axpgn":[...] avrei trovato questa soluzione [...]

Ma perché usi il condizionale se la soluzione è quella giusta?
–––––––
Ma come hai fatto di preciso a trovarla?

[Io avevo immaginato che un lato (diciamo quello lungo $a$) portesse essere lungo 64 in modo da avere un $a–1=63$ come fattore nella formula dell'area, Ma dopo alcuni tentativi (andati a vuoto) per la lunghezza dell'altro lato ... ho desistito [ot](dovendo, purtroppo, occuparmi di problemi "medici" miei e/o di miei stretti congiunti che stan peggio di me).[/ot]
––––––––––
@ giammaria
Se uno ha tempo e pazienza può fare a mano qualsiasi cosa faccia il computer!
Anche un contadino, se ha tempo, salute e pazienza, può vangare tutto il campo invece di ararlo col trattore!
Se, quando non dispone del trattore, rinuncia a vangarsi il campo perché ci metterebbe troppo tempo, è si scomfitto: ma non dall'ignavia – o va meglio dire "dall'accidia"? –, bensì proprio dal non disporre del trattore!

Ciao Alex, ciao giammaria
___________

[axpgn]

"Erasmus_First":Ma perché usi il condizionale se la soluzione è quella giusta?

Perchè non l'ho verificata (ho fatto solo i conti) ed anche perchè è un mio modo di essere ...

"Erasmus_First":Ma come hai fatto di preciso a trovarla?

Col computer!
Dopo qualche tentativo "manuale", come hai fatto tu, ho lasciato perdere (anche se col senno di poi non ero molto lontano) ed ho ripescato un vecchio pc, malandato anch'esso, e l'ho rimesso in sesto quanto basta ...

Aggiungo solo che, sostanzialmente, concordo con giammaria ... però anche trovare un algoritmo che trovi le soluzioni velocemente non è poi così banale come potebbe sembrare (soprattutto per uno che in pratica usa solo "for" e "if", già col "while" si incasina ... )

Cordialmente, Alex

[Erasmus_First]

Rilancio!

Nel problema posto qui da dan95 occorre trovare i lati di un triangolo sapendo
• che i lati sono interi;
• che la somma di due lati supera di due unità il terzo lato;
• che l'area vale un dato numero intero S e
• che il raggio del cerchio inscritto è intero.

Modifico il quiz come segue:
[size=110]Trovare le lungheze dei lati di un triiangolo sapendo
• che i lati sono interi;
• che la somma di due lati supera di due unità il terzo lato;
• che l'area è pure un numero intero e
• che il raggio del cerchio inscritto è un dato numero intero $r.$[/size]

Beh: Se al posto di S = 2016 fosse stato S = 6 era quasi immediato trovare che il lati erano lunghi 3, 4 e 5 ed il raggio del cerchio inscritto era 1.

La vera domanda che mi sono posto – alla quale ovviamente non so per ora rispondere – è questa:
Dato un numero intero positivo arbitrario $r$, esiste sempre almeno un triangolo che abbia
• i lati interi,
• il lato più lungo minore di due unità della somma degli altri due lati,
• l'area intera e
• il cerchio inscritto di dato raggio $r$?

E' facile verificare che un tale triangolo c'è per
• $r$ = 1 (con $[a, b, c] = [3, 4, 5]$),
• $r$ = 2 (con $[a, b, c] = [6, 25, 29]$) e
• $r$ = 3 (con $[a, b, c] = [12, 55, 65]$).
E sappiamo già che c'è quello per $r = 7$ (con $[a, b, c] = [64, 225, 287]$).

Proviano a vedere se c'è quello per $r = 4$, $r = 5$, $r = 6$, ecc.

Sarebbe bello che si potesse dimostrare che il mio quiz ha soluzione per ogni raggio intero.
Qualcuno ci prova?
_______

[giammaria2]

Erasmus, la tua idea mi sembra interessante e proverò a svilupparla. Finora ho tentato con altri approcci, ma con scarso risultato; l'unica cosa che può avere un certo interesse è l'aver dimostrato che $x+y+1 Noto che non sei soddisfatto della sola risposta al computer ed anch'io avevo precisato che non va bene in casi come questo, tesi al ragionamento puro. Per usare la tua metafora del contadino, non desideriamo avere un campo lavorato, ma partecipare ad una gara di vangatura; chi usa il trattore si auto-squalifica.

EDIT: ho cancellato una frase sbagliata, come ho notato in un esame più attento.

[axpgn]

Io ho solo aiutato Erasmus come richiesto da Lui stesso medesimo ...

[Erasmus_First]

"Erasmus_First":Rilancio!
[...]
Modifico il quiz come segue:
[size=110]Trovare le lungheze dei lati di un triiangolo sapendo
• che i lati sono interi;
• che la somma di due lati supera di due unità il terzo lato;
• che l'area è pure un numero intero e
• che il raggio del cerchio inscritto è un dato numero intero $r.$[/size]

Eureka!
Il mio quiz ha semopre almeno una soluzione.
Precisamente, ha una sola soluzione per $r=1$; e per $r$ intero maggiore di 1 ha sempre più di una soluzione.
La ricerca è facile perché, mentre nel problema di dan95 occorreva risolvere una equazione diofantea (in due incognite) di 2° grado, nel mio quiz l'equazione da risolvere è di 1° gradp. Precisamente (posto per comodità $x = a-1$ e $y = b - 1$) il quadrato del raggio del cerchio inscritto viene
$r^2 = (xy)/(x+y+1)$
da cui, esplicitando $y$:
$y = r^2·(1 + (r^2 + 1)/(x-r^2))$.

Ho trovato che, se diciamo $[a, b, c]$ la terna dei lati [interi] di un triangolo, un triangolo con
• i lati interi,
• l'area intera.
• il lato più lungo $c$ due unità in meno della somma degli altri due lati (coè $c = a+b - 2$) e
• il raggio $r$ del cerchio inscritto intero e positivo di valore arbitrario
è quello con le seguenti lunghezze dei lati:
• $a = r^2 + 2$;
• $b = (r^2 + 1)^2 = r^4 +2r^2 + 1$;
• $c = r^4 +3r?2 + 1 = a+b . 2$.
Se poniamo $p = (a + b + c)/2$, con questi valori di $[a, b, c]$ otteniamo;
$2p = a+b+c = 2a+2b-2$ ⇔ $p=a+b-1 = r^4 + 3r^2 + 2 = (r^2+1)·(r^2 + 2)$;
$p-a = r^4 ·+2r^2 = r^2·(r^2 + 2)$;
$p-b = r^2 +1$;
$p-c = 1$.
Pertanto risulta $p(p-a)(p-b)(p-c) = r^2·(r^2+1)^2·(r^2+2)^2$ e quindi larea $S$ viene
$S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) = r(r^2+1)(r^2+2)$

Per esenpio, un triangolo con cerchio inscritto di raggio $r=5$ è quello con i lati
$[a, b, c] = [5^2 + 2, (5^2 +1)^2, 5^4 + 3 ·5^2 + 1] = [27, 676, 701]$
la cui area è $S = 5·(5^2+1)·(5^2+2) = 5·26·27 =3510$
e il cui semiperimetro è
$p = (5^2 +1)·5^2 + 2) = 26·27 = 702$,

Ho calcolato tutti i triangoli con le dette proprietà per $r$ da 1 a 6 inclusi,
Domani calcolo anche i trinagoli con $r = 7$ ... e di consequenza scoprirò quello con area 2016, ossia quello che risolve il quiz di dan95.
Ecco intanto i triangoli con $r = 6$:
[38, 1369, 1405]; S = 8136; p = 1406.
[39, 703, 740]; S = 4445; p = 741.
[40, 481, 519]; A = 3120; p = 520.
[41, 270, 409]; S = 2460; p = 410.
[43, 259, 300]; S = 1806; p = 301;
46, 185, 229]; S = 1380; p = 230.
[49, 148, 195]; S = 1176; p= 196.
[55, 111, 164]; S = 990; p = 165.
[73, 74, 145]; S = 876; p = 146.

Si osservi che c'è sempre la soluzione
$a = 2r^2 + 1$;
$b = 2r^2 + 2 = a + 1$;
$c = 4r^2 + 1 = a+b - 2$.

_______

[/quote]

[orsoulx]

La soluzione si può 'umanizzare' assumendo come incognite $ x.y $ due delle lunghezze dei segmenti di tangenza che congiungono i vertici del triangolo alla circonferenza inscritta; la terza vale, ovviamente $1$ ed il semiperimetro sarà $ p= x+y+1$.
Abbiamo $ A=rp; A^2=xyp $ da cui si ottiene $ x+y=p-1=A/r-1; xy=r A$, un sistema simmetrico con risolvente $ z^2-(A/r-1)z+rA=0 $ che ha discriminante $ Delta=(A/r-1)^2-4rA $.
$ Delta >=0 rightarrow A^2/r^2-4rA >Delta>=0 $ da cui $ r^3 < A/a rightarrow r<8 $
Occorre ancora procedere per tentativi, ma ne bastano sei ($ r=5 $ non divide $2016$ ) per accertarsi che solamente per $ r=7 $ il discriminante è un quadrato perfetto.

@Erasmus,
per il tuo quiz (dove la terza condizione è superflua) sono arrivato anch'io ai medesimi risultati: per ogni valore di $ r $ v'è un numero di soluzioni uguale a quello dei modi distinti in cui si può scomporre $ r^2(r^2+1) $ come prodotto di due fattori. Questo numero è, com'è noto, metà del prodotto dei successori degli esponenti con cui compaiono i fattori primi nella scomposizione di $ r^2(r^2+1) $. Abbiamo quindi una sola soluzione per $r=1$, tre soluzioni per $r=2 $, cinque soluzioni per $ r=4 $ ed almeno sei per ogni altro valore di $ r$.
Tre di queste soluzioni si possono esplicitare una volta per tutte e sono, in ordine di area della superficie:
$ A=2r(2r^2+1); {a,b}={2r^2+1, 2r^2+2 } $
$ A=(r(r^2+2)(r^2+3))/2; {a,b}={r^2+3,1+ (r^2(r^2+3))/2 } $
$ A=r(r^2+1)(r^2+2)); {a,b}={r^2+2,(r^2+1)^2 } $.
Naturalmente per $ r=1 $ queste soluzioni coincidono.

Ciao

[Erasmus_First]

Metto una tabella (in formato immagine PNG) con tutti i triangoli soluzioni del mio quiz per raggio rdel cerchio inscritto [intero] compreso tra 1 e 7 inclusi.

Come sottoprodotto, risulta che la soluzione del quiz di dan5 di apertra di questo thread] è il trinagolo che sta nella 6ª riga dell'ultima sezione, quella per $r = 7$. Cioè:[size=115]
Lati [a, b, c] = [64, 225, 287]; Area S = 2016; Semiperimetro p = 288;
Raggio del cerchio inscritto r = S/p = 7.[/size]
_________

[giammaria2]

Bellissima la soluzione di orsoulx! (Anche se qualche parola di spiegazione in più sarebbe stata gradita.)
E mi piace anche l'interpretazione geometrica di $x,y$, estendibile a qualsiasi triangolo.

[Erasmus_First]

"giammaria":[...] in esercizi di questo tipo, il proporre di ricorrere al computer equivale al dichiararsi sconfitti e suggerisco [...] di continuare a cercare [...]

Col senno di poi (ossia: supponendo che il quiz di dan95 mi arrivi dopo aver studiato come sono i triangoli di lati [a, b, c] interi con c = a+b -2, area S intera e raggio r del cerchio inscritto intero), posso accogliere l'osservazione di giammaria (che sarebbe meglio poter far a meno del computer ... che tuttavia è sfruttabile "intelligerntemente" in processi "esaustivi", come potrebbe essere quello di risolvere per tentativi il quiz di dan95 in questiione).

Allora ... accontento giammaria e faccio tutto senza computer (facendo a mano anche le eventuali operazioni tra numeri interi.
(E chiedo scusa agli eventuali lettori per la prolissità del testo che ne uscirà ).

Per raggio r (intero e maggiore di 1) del cerchio inscritto ci sono più triangoli di lati [a, b, c] interi con c = a+b -2 e area S intera.
I lati di quello con l'area minima sono $[a, b, c] = [2r^2+1, 2r^2+2, 4r^2 +1]$ e l'area è $S_m = 2r(2r^2+1)$.
I lati di quello con l'area massima sono $ [r^2+2, (r^2+1)^2, r^4 + 3r^2 +1]$ e l'area è $S_M = r(r^2+1)(r^2+2)$.

Deve essere r > 4 perchè l'area massima del triangolo con r = 4 è $4·(4^2+1)(4^2+2) = 1224 < 2016$.
Deve essere r < 8 perchè l'area minima del triangolo con r = 8 è $2·8·(2·8^2 + 1) +1 = 2064 > 2016$.
Posto (per comodità) $x= a - 1$, $y = b - 1$ e $p = (a+b+c)$/2, risulta in generale $p = x+y+1$ e:
$p-a=y$; $p-b =x$; $p-c = 1$; $p(p-a)(p-b)(p-c) = S^2$ ⇒ $xy·(x + y + 1) = S^2$ ∧
∧ $(xy)/(x+y+1) = r^2$.
Pertanto, risolvendo rispetto alle incognite provvisorie $s= x+y$ e $q=xy$, risulta in generale:
$xy = rS$ ∧ $x+y = (S-r)/r$.

Allora per $S=2016$ non può essere $r = 5$ perché con $r = 5$ non viene intera la somma $x+y$ e quindi non vengono interi i lati.
Per $r=6$, [e $S = 2016$], dalle

viene:

$xy = 6·2016 = 12096$ ∧ $x+y = (2016-6)/6 = 335$.
Risolvendo ora il sistema $xy = 12096$ ∧ $x+y = 335$ si trova che x ed y risultano non nteri (e nemmeno razionali) dato che
$335^2 - 4·12096 = 112225 - 48384 = 63841$ e $252 ^2 = 635404 < 63841 < 64009 = 253^2$.
Dunque, se esirte una soluzione al quiz di dan95 questa non può essere che per $r=7$. Per tale r dalle

viene:

$x+y = (2016-7)/7 = 287$ ∧ $xy = 7·2016 = 14112$
e quindi
$287^2 - 4 14112) = 82369 - 56448 =25921 > 0$; $sqrt25921 = 161$.
$x = (287-161)/2 = 63$; $y = (287+161)/2 = 224$. [La cercata soluzione c'è! ]

In colclusione, l'unico triangolo che risolve il quiz di dan95 è quella con i seguenti lati $[a, b, c]$:
$a = x+1 = 64$; $b = y+1 = 225$; $c = a +b – 2 = x+y = 287$.
[Il perimetro richiesto da dan95 è $a+b+c = 2p =2(x+y+1) = 2·288 = 576$).
--------------
P.S.
Oops!
Ho editato per modificare (correggendo un grosso "errore di sbaglio")
Ho sostituito la verifica che non può essere r = 8 con la verifica che non può essere r = 6.
Infatti solo ora mi sono accorto che mncava la verifica che non può essere $r = 6$ e che la verifica per $r=8$ era invece superflua avendo già mostrato che l'area minima dei triangoli con r = 8 è maggiore di 2016 (che è il valore dell'area assegnato dal testo del quiz).
______

[giammaria2]

Sì, adesso la tua risposta mi piace. Il punto chiave (usato anche da orsoulx) è dato da
$xy = rS$ ∧ $x+y = (S-r)/r$.

e vi aggiungi, dedotto dalle tue precedenti osservazioni, $4 orsoulx aveva trovato la $r<8$ in altro modo, anch'esso decisamente apprezzabile; occorreva poi qualche tentativo un più, compensato però da qualche altro calcolo o ragionamento in meno.

[dan952]

Noto con piacere che vi ha preso questo problema... L'ho preso dalle internazionali della Bocconi