Cardinalità massima

[donald_zeka]

Chiamiamo $X$ un insieme di numeri reali compresi tra $0$ e $10$. $X$ è tale che per ogni coppia di valori $(a,b)$ con $a$ diverso da $b$ in $X$ vale la disuguaglianza $|a²-b²|>=1$. Qual è la massima cardinalità possibile per $X$?

Ho provato a considerare un insieme $Y$ dei quadrati di $x$, $Y = { x^2 | x in X }$ e quindi dei numeri reali compresi in $[0,100]$ cioè numeri la cui differenza è $>=1$,dunque la cardinalità massima di $X$ è $101$ ? o sbaglio qualcosa?

[giammaria2]

Forse non capisco il tuo problema, ma mi sembra che se l'unica ipotesi su $a,b$ è $a!=b$ non ci sono soluzioni. Infatti se questi due numeri differiscono di pochissimo (diciamo un milionesimo di miliardesimo), anche $a^x,b^x$ differiscono di pochissimo e la loro differenza è minore di $1$.
Se ho frainteso, ti prego di spiegarmelo.

[donald_zeka]

@$giammaria$ Non capisco perchè parli di $a^x$ e $b^x$, forse hai letto male ma io ho scritto $a^2$ e $b^2$, si probabilmente non si capisce dal mio testo ma quegli esponenti sopra $a$ e $b$ sono dei $2$, mi scuso per la poca chiarezza, in poche parole la differenza tra i quadrati di due valori dell'insieme deve essere maggiore o uguale a $1$

[giammaria2]

Grazie mille: la vista mi ingannava e come conseguenza intendevo che ad $X$ dovessero appartenere gli esponenti. Ora che l'equivoco è chiarito, concordo con te sul $101$.

[Rigel1]

Volendo formalizzare, è chiaro che tale insieme è finito; detti
\[
0 \leq x_0 < x_1 < \ldots < x_n \leq 10
\]
gli \(n+1\) punti di \(X\), avremo che
\[
n \leq \sum_{j=1}^n (x_j^2-x_{j-1}^2) = x_n^2 - x_0^2 \leq 100.
\]
Dunque la cardinalità di \(X\) è \(\leq 101\). D'altra parte è immediato costruire un tale insieme contenente esattamente \(101\) punti.