Cammino più breve-Scuola Normale

[Petricci]

Mi sto preparando per il test di settembre della Normale e mi sono imbattuto in questo problema già proposto nel 2008. Non saprei da dove cominciare nè per intuire quale possa essere il percorso più corto, nè per giustificarlo. L'unica cosa che ho notato è che per α>90° il cammino assume forma diversa dato che non è possibile fare A-->punto in C-->B.
Il testo è questo:
Date due lunghezze 0 < r < R e un angolo 0 < α < π, considera nel piano una
circonferenza C di centro O e raggio r e due punti A e B tali che OA = OB = R e
AOB = α. Descrivi, giustificando la risposta, il cammino piu breve che unisce ` A
a B toccando C in almeno un punto, ma senza penetrare nel cerchio delimitato da
C. Calcola la lunghezza di tale cammino.
Sapreste darmi una mano?

Scusate se non uso la formattazione del forum per quanto riguarda le formule ma non ho ben capito come funzionano ancora.

[axpgn]

Il disegno dovrebbe essere più o meno così?

La butto lì ...
Se $A$ e $B$ sono "a vista" il punto su $C$ è sulla bisettrice dell'angolo, se non sono "a vista" tracci il segmento $AB$ fermandoti quando tocchi $C$ nei due punti $C_1$ e $C_2$ e prosegui da $C_1$ a $C_2$ sulla circonferenza.

Cordialmente, Alex

EDIT: modifica al secondo caso: tracci le tangenti alla circonferenza $C$ da $A$ e $B$ e per andare da un punto di tangenza all'altro prosegui sulla circonferenza.

[Petricci]

Grazie mille Alex. Nel 1° caso mi sono accorto che la risposta è abbastanza banale, sia da dimostrare che calcolare. Si dimostra dicendo che il cammino più vicino che unisce tre punti sono appunto i due segmenti che li uniscono, poi basta impostare un problema di minimo considerando le circonferenze $ y^2+x^2=r^2 $ e $ y^2+x^2=R^2 $ e il punto A $ (0;R) $ (a cui ci si può ricondurre ruotando la figura ovunque si trovi A) per trovare che il punto che cerchiamo sta proprio sulla bisettrice. La lunghezza per questo caso mi viene $ 2sqrt(R^2+r^2-2rRcos(alpha /2 ) $, ora provo con l'altro caso, anche se non so bene come dimostrare che quello è il percorso minimo, se non perché "si vede" ahahah

[axpgn]

Non che ci abbia pensato molto, ma penso che la dimostrazione verta su "triangoli curvilinei" da confrontare tra loro o con triangoli veri, cioè in un "triangolo curvilineo" dovrebbe valere (più o meno ... ) la stessa regola dei triangoli, vale a dire che un lato è sempre più corto della somma degli altri due.
Detta in altro modo: pensa al triangolo curvilineo formato dal segmento di tangente condotto da $A$ al punto di tangenza su $C$, dal segmento costituito dalla distanza tra $A$ e la circonferenza (il prolungamento del raggio insomma, che è anche il segmento più corto tra $A$ e la circonferenza) e l'arco tra questi due punti; il primo segmento di questo triangolo non potrà mai essere più lungo della somma degli altri due; isn't it?
Dimostrarlo formalmente è un altro paio di maniche ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Formalizzo un pochino quello che ho scritto prima ...

In pratica, per il secondo caso, devi dimostrare tre cose:
1) Nel caso in cui la congiungente $A$ con $B$ interseca il cerchio $C$ i punti di contatto su tale circonferenza sono almeno due.
2) Il percorso più breve tra due punti sulla circonferenza SENZA passare attraverso il cerchio è il cammino sulla circonferenza stessa,
3) Il segmento preso sulla tangente alla circonferenza condotta da $A$ è più corto della somma degli altri due "lati" (segmento+arco) del triangolo curvilineo da questi formato.
Le prime due sembrano ovvie (anche se non ho ancora trovato una dimostrazione "perfetta" ... )

Per la terza allego il disegno:

Da questo possiamo vedere che $\bar(AC')<\bar(AH)+\bar(HC')$, e dato che la corda $HC'$ è più corta dell'arco $HC'$ allora a maggior ragione il segmento $AC'$ sarà minore della somma del segmento $AH$ e dell'arco $HC'$

Cordialmente, Alex

[francesco serra1]

il segmento della tangente è il più corto anche perchè coincide con la distanza tra A e C