Calcolare: Area ellisse senza integrali.

[curie88]

Buongiorno, vi propongo di trovare l area dell ellisse senza il moderno calcolo integrale, avrei piacere di vedere le vostre soluzioni, in seguito ne darò una anche io. Grazie.

[orsoulx]

Se pensi all'ellisse come il risultato della deformazione di un cerchio i calcoli si riducono a:
$ A=\pi a^2b/a $ oppure $ A=\pi b^2 a/b $

Ciao

[Erasmus_First]

"curie88":Buongiorno, vi propongo di trovare l area dell ellisse senza il moderno calcolo integrale, avrei piacere di vedere le vostre soluzioni, in seguito ne darò una anche io. Grazie.

Mai visto fare l'area di un'ellisse con un integrale!
Se sono noti il diametro massimo $2a$ ed il diametro minimo $2b$ l'area dell'ellisse è tout-court $πab$.

curie88: Vorrei ora sapere la "tua" soluzione!

@ curie88
Gli effettivi calcoli da fare dipendono da quali sono i dati di partenza.

L'ellisse dipende da due parametri.
Di solito quelli che si dànno per definire una certa ellisse sono
• il diametro massimo $2a$ e
• il diametro minimo $2b$.

Ma altri parametri spesso in uso sono
• la distanza tra i fuochi $2c$,
• l'eccentricità $e = c$/$a$ e
• l'apertura $p$ (che è la distanza di un fuoco dai due punti di intersezione dell'ellisse con la perpendicolare per quel fuoco alla retta per i due fuochi).
[E' facile verificare che è $p$ vale $b^2$/$a$.]

Comunissimo è l'uso dell'equazione polare dell'ellisse nella forma
$r(φ) = p/(1-e·cos(φ))$
dove $r$ è la distanza di un punto $P$ dell'ellisse da un fuoco $F$ e, detto $F'$ l'altro fuoco, $φ$ è l'angolo $\hat{PFF'$.
Sia per esempio, da trovare l'area dell'ellisse di equazione polare:
$r(φ) = 9/(1-0,8·cos(φ))$.
Posto $c$ la distanze del centro dai fuochi ed $a$ la distanza del centro dai vertici, il massimo di $r$ è evidentemente $a+c$ e si ha per $φ=0$; ed il minimo è $a-c$ e si ha quando $φ$ è un angolo piatto. Dunque:
$a+c= r(0) = 9/(1-0,8) = 45$ ∧ $ a-c= r(180°) =9/(1+0,8) = 5$,
da cui si ricava $a=25$ ∧ $c=20$ e di conseguenza il semi-diametro minimo $b=sqrt(a^2-c^2)=15$.
Pertanto l'area $S$ di questa ellisse vale $πab= 25·15·π = 375π$.

_______

[curie88]

Ciao e grazie per le risposte, anche se me ne aspettavo di più..., @orsoulx, ma la dimostrazione?

"Erasmus_First": Mai visto fare l'area di un'ellisse con un integrale!

Questo non vuol dire certo che non si possa calcolare con un integrale; infatti quello che io propongo non si discosta quasi per nulla da questo, essendo un limite di somme infinite, tuttavia è un calcolo "primitivo", utile a comprenderlo ma meno pratico di esso. Non calcolo nemmeno l' integrale(del cerchio), imposto i conti e "memorizzo" il limite ad esso associato per poi riutilizzarlo nell' ellisse.

Un metodo semplice, tratto per l'appunto da un libro di scuola media, si serve di una proporzione elementare tra il rettangolo e il quadrato rispettivamente circoscritti all' ellisse e al cerchio:

$A_e : A_r = A_c : A_q$

da cui è immediato trovare:

$A_e = A_r / A_q * A_c = \(a*b) / (\r^2)*pi*r^2 = ab\pi$

Solo per verificare la suddetta area con un metodo alternativo, anche se certamente meno pratico, ho proceduto nel seguente modo:

Consideriamo un cerchio di raggio $r=1$, con il centro $O$ nell' origine degli assi ortogonali.
Sappiamo che l'area di un quarto di cerchio è $r^2\pi/4$, ed essa puo' essere pensata come la sommatoria di tutti gli $x_i$, compresi nella regione del cerchio del primo quadrante.

Se si esegue la sommatoria, e la si divide per il numero di somme, si ottiene il segmento $x_M$ medio della regione considerata, moltiplicandolo poi per il raggio $r$, si ha l'area del quarto di cerchio($r^2*\pi/4$)

Quest' area è equivalente al seguente limite:
posto $x_i=r*i/n$
$A_c/4 = r^2*pi/4 = lim n->infty ( (r/n)*sum_{i=1}^{n}(\sqrt(r^2 - x_i^2)))$

Abbiamo moltiplicato per $r$ per ottenere $r^2\pi/4$, quindi:

$lim n->infty ( (1/n)sum_{i=1}^{n}(\sqrt(r^2 - (r*i/n)^2)))$ = $lim n->infty ( (r/n)*sum_{i=1}^{n}(\sqrt(1^2 - (i/n)^2)))$ = $r*\pi/4$

Memorizziamo questo limite, e passiamo all' ellisse:

Sia data l'ellisse nella forma cartesiana di equazione: $y = (b/a)\sqrt(a^2 - x^2)$, che rappresenta solo la parte sopra l'asse $x$.

Procedendo analogamente a quanto fatto per il cerchio, si deve avere:
$A_e/4 = lim n->infty( (a/n) * sum_{i=1}^{n}(b/a)\sqrt(a^2 - (a*i/n)^2) )$

Ma dato che:

$lim n->infty( (a/n)*sum_{i=1}^{n}\sqrt(1 - (i/n)^2) ) = a*\pi/4$

Si ha: $a*(b/a) * (a\pi/4) = ab\pi/4$

P.S @Erasmus_First, i diametri si chiamano asse maggiore e asse minore

Ciao

[Cantor99]

Dato un sistema di riferimento cartesiano, considera l'ellisse di equazione $\epsilon: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ e la circonferenza $C$ di raggio $b$ con centro sull'asse delle ascisse.
Le due coniche sono disposte su rette parallele e possiamo applicare il principio di Cavalieri.
Consideriamo $y=k$ con $-b<=k<=b$. La corda intercettata sull'ellisse ha lunghezza $2\frac{a}{b}sqrt(b^2-k^2)$ mentre quella sulla circonferenza (senza usare la geometria analitica) è $2sqrt(b^2-k^2)$.
Il rapporto tra le corde sarà il rapporto tra le superfici quindi
$S_\epsilon=S_C\frac{2\frac{a}{b}sqrt(b^2-k^2)}{2sqrt(b^2-k^2)$
Cioè
$S_\epsilon=b^2π*\frac{a}{b}=abπ$

[orsoulx]

"curie88":@Erasmus_First, i diametri si chiamano asse maggiore e asse minore

Direi proprio di no!
Per la dimostrazione che avrei omesso, trattasi di proprietà men che elementari delle affinità.. e poi quella di Cantor99 mi piace di più.
Ciao

[curie88]

"orsoulx":direi proprio di no!

In effetti non è così ,ma indicandoli allo stesso modo mi sono ingannato.
Ciao.