Brachistochrone, dimostrazione matematica
Buongiorno a tutti! Vi scrivo oggi per un altro problema che non sono riuscito a risolvere. Il famoso problema di cui parlo è chiamato Brachistochrone. Per chi non lo conoscesse vengono presi due punti in un piano A e B( con $yA>yB$), a questo punto si deve tentare di trovare la funzione $f(x)$ tale che il tempo che un oggetto ipotetico spinto dalla gravità passi dal punto A a B sia il minore possibile. Per affrontare il problema quello che ho fatto io è stato prendere lo spazio che l'oggetto deve percorrere che è pari a $L=int(sqrt(1+f'^2(x)))dx$, con estremi di integrazione Ax e Bx, dopodichè calcolo la velocità media a sfruttando il fatto che si ha $a(x)=g*cos(arctg(f'(x)))$ e quindi $v(x)=int a(x)dx$, $vm=((intv(x)dx)/(Bx-Ax))$ sempre con estremi di integrazione $Ax Bx$.
Se ne conclude che $t=S/(vm)$, nonchè $t=(int(sqrt(1+f'^2(x)))dx)/((int(v(x))dx)/(Bx-Ax))$, infine, minimizzando la funzione t si otterrebbe l'equazione differenziale e in generale il risultato. Pensate sia giusto come ragionamento? (Ho visto la dimostrazione di Bernoulli ma ne stavo cercando una puramente matematica).Grazie mille in anticipo
Se ne conclude che $t=S/(vm)$, nonchè $t=(int(sqrt(1+f'^2(x)))dx)/((int(v(x))dx)/(Bx-Ax))$, infine, minimizzando la funzione t si otterrebbe l'equazione differenziale e in generale il risultato. Pensate sia giusto come ragionamento? (Ho visto la dimostrazione di Bernoulli ma ne stavo cercando una puramente matematica).Grazie mille in anticipo
Risposte
Io ho trovato una soluzione più semplice
Sappiamo che la velocità di un punto materiale in caduta libera è:
$v= g * t$
ma: $s=1/2 g t^2$
$t=\sqrt{(2s)/g}$
quindi: $v=\sqrt{2sg}$
Poniamo l'origine degli assi nel punto A e poniamo l'asse y verso il basso
la distanza già percorsa dal punto materiale è uguale alla funzione $u(x)$ da determinare
Quindi $v(x)=\sqrt{2g*u(x)}$
la distanza infinitesima sulla funzione è uguale a: $dl=\sqrt{1+(u'(x))^2}dx$
il tempo impiegato a percorrere la distanza infinitesima sulla funzione é:
$(dl)/v(x)=\sqrt{1+(u'(x))^2}/\sqrt{2g*u(x)} dx$
detta b l'ascissa del punto B nel nuovo sistema di assi:
detto t il tempo impiegato dal punto materiale da A a B, restando soggetto alla forza gravitazionale e mantenendosi al di sopra della funzione
$t=\int_{0}^{b} \sqrt{(1+(u'(x))^2)/(2g*u(x))} dx$
Minimizzare quest'integrale porta alla soluzione
Sappiamo che la velocità di un punto materiale in caduta libera è:
$v= g * t$
ma: $s=1/2 g t^2$
$t=\sqrt{(2s)/g}$
quindi: $v=\sqrt{2sg}$
Poniamo l'origine degli assi nel punto A e poniamo l'asse y verso il basso
la distanza già percorsa dal punto materiale è uguale alla funzione $u(x)$ da determinare
Quindi $v(x)=\sqrt{2g*u(x)}$
la distanza infinitesima sulla funzione è uguale a: $dl=\sqrt{1+(u'(x))^2}dx$
il tempo impiegato a percorrere la distanza infinitesima sulla funzione é:
$(dl)/v(x)=\sqrt{1+(u'(x))^2}/\sqrt{2g*u(x)} dx$
detta b l'ascissa del punto B nel nuovo sistema di assi:
detto t il tempo impiegato dal punto materiale da A a B, restando soggetto alla forza gravitazionale e mantenendosi al di sopra della funzione
$t=\int_{0}^{b} \sqrt{(1+(u'(x))^2)/(2g*u(x))} dx$
Minimizzare quest'integrale porta alla soluzione
Credo proprio che senza alcune nozioni di base sulla meccanica lagrangiana (equazioni di Eulero-Lagrange) e sul calcolo variazionale, per esempio funzionali e relative curve stazionarie, cioè le funzioni che "rendono minimi i funzionali", non andiamo da nessuna parte.
Un funzionale $F$ detto in parole povere è una funzione che va da una classe di funzioni, per esempio $\mathcal(C)={f \in C^1([0,1];RR)| f(0)=0, f(1)=1}$, ad $RR$ ($F:\mathcal(C) \mapsto RR$), ad esempio:
$$F[f]=\int_{0}^{1} dx\sqrt{1+f'(x)}$$
La lunghezza della curva $f$...
Si può definire la derivata del funzionale e dunque dimostrare teoremi relativi ai punti stazionari, ecc...tutte cose che non trovano posto in questa sezione.
Un funzionale $F$ detto in parole povere è una funzione che va da una classe di funzioni, per esempio $\mathcal(C)={f \in C^1([0,1];RR)| f(0)=0, f(1)=1}$, ad $RR$ ($F:\mathcal(C) \mapsto RR$), ad esempio:
$$F[f]=\int_{0}^{1} dx\sqrt{1+f'(x)}$$
La lunghezza della curva $f$...
Si può definire la derivata del funzionale e dunque dimostrare teoremi relativi ai punti stazionari, ecc...tutte cose che non trovano posto in questa sezione.
"dan95":
Si può definire la derivata del funzionale e dunque dimostrare teoremi relativi ai punti stazionari, ecc...tutte cose che non trovano posto in questa sezione.
Per questo motivo non mi sono dilungato con il calcolo vero e proprio della funzione
Se a 19 anni sei in grado di risolvere un problema variazionale allora la matematica è il tuo futuro.
Non pensavo servissero nozioni così specifiche, (sono/ero uno studente di 5 superiore) e pensavo di potermela cavare con un'equazione differenziale piuttosto semplice.Grazie comunque a tutti !
Come potete ben vedere ho fallito miseramente 
, tuttavia ho per lo meno provato! (Spero vivamente che la matematica sia il mio futuro!) 
, tuttavia ho per lo meno provato! (Spero vivamente che la matematica sia il mio futuro!)
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