Bilanciamento motori

[donald_zeka]

Dato un motore a $T$ tempi con $N$ cilindri, detto $delta_i=(i-1)(Tpi)/N$ lo sfasamento angolare tra l'i-esimo cilindro e il primo, si può dimostrare che esso è bilanciato (ossia le forze che agiscono su di esso sono nulle) se è verifcato:

$sumcosdelta_i=0$
$sumsindelta_i=0$

$sumcos(2delta_i)=0$
$sumsin(2delta_i)=0$


Studiando questa roba, mi pare di aver dedotto che per un motore a 2 tempi, ossia $T=2$ le prime 2 condizioni siano sempre verificate, ma non riesco a dimostrarlo, mi pare intuitivo perché con T=2 gli sfasamenti dividono la circonferenza goniometrica in N parti uguali, formando un poligono regolare, per dimostrarlo penso c'entrino qualcosa i numeri complessi ma ci ho perso la manualità con questi argomenti, qualcuno lo sa dimostrare? o provare che non è vero?
Delle seconde due condizioni invece non son dire nulla e non mi pare si possa trovare qualche regolare generale anche per loro.
Neanche nei motori a 4 tempi mi sa che si può dire nulla a riguardo

[orsoulx]

Sì, per sommare seni o coseni di angoli in progressione aritmetica si possono usare le proprietà delle radici (complesse) di 1.
Ma anche, in modo più elementare, moltiplicando l'intera somma per il seno o il coseno di metà della ragione, in modo da ottenere addendi del tipo sin(x)*cos(y) che generano, applicando la terza formula di Werner, somme telescopiche.
Ciao