[Aritmetica modulare] Costante impertinente

[dan952]

Dimostrare che per ogni numero naturale $k \geq 2$ esiste un numero irrazionale $r$ tale che per ogni numero naturale $n$ vale
\begin{equation}
[r^n] \equiv -1 \mod k
\end{equation}

[j18eos]

Che significa che dei numeri reali \(\displaystyle r\) ed \(\displaystyle s\) sono equivalenti modulo un numero naturale \(\displaystyle k\)?

[dan952]

$[]$ indica la parte intera

[giammaria2]

Ma c'è davvero una soluzione? Quella che mando si riferisce ad una modifica (scritta in rosso) del problema, e cioè:
Dimostrare che per ogni numero naturale $k \geq 2$ esiste un numero reale $r$ tale che, fissato un numero N grande a piacere, per ogni numero naturale $n<=N$ vale
\begin{equation}
[r^n] \equiv -1 \mod k
\end{equation}

Scelgo per $[r]$ il più piccolo valore positivo accettabile, cioè scelgo
$[r]=k-1" " hArr" " k-1<=r Essendo tutto positivo, posso elevare a potenza e scrivere
$(k-1)^n<=r^n Scelgo ora per $[r^n]$ il più grande valore possibile, cioè $k^n-1$: soddisfa l'equivalenza data, è minore del terzo membro della disequazione e maggiore o uguale al primo membro. L'ultima affermazione si dimostra con
$k^n-1>=(k-1)^n" " hArr" " k^n-(k-1)^n>=1$
e la differenza fra potenze analoghe di numeri naturali consecutivi è sempre maggiore o uguale ad 1 (è escluso che sia $n=0$)
La scelta quindi è
$[r^n]=k^n-1" " hArr" " k^n-1<=r^n Il primo membro cresce al crescere di $n$, quindi la disequazione è certo verificata se scelgo $r$ in modo che sia
$root(N)(k^N-1)<=r

Cita

Segnala

[dan952]

Sì esiste una soluzione, con più sprint mentale la pubblico e controllo il tuo argomento euristico

[dan952]

Niente non ci sono riuscito a risolverlo in altro modo...
L'ho pescato qui