Area e perimetro di un trifoglio particolare
Buon giorno appassionati,
Vi propongo il seguente problema di geometria:
Data l'equazione in forma polare di un particolare trifoglio:
$r(t)=a-\abs((\abs((-1)^(q)-1))/(2)-r_{1})^(4)k$
dove:
$a=1,k=1,n=3$
$q=\floor{\frac{n*t/π}{a}}$
$r_{1}=\frac{n*t}{π} \mod a$
Trovare area e perimetro del trifoglio, la cui rappresentazione nel piano è:
Immagine ottenuta con geogebra.
Buon, divertimento. Non ho ancora tentato la risoluzione.
Vi propongo il seguente problema di geometria:
Data l'equazione in forma polare di un particolare trifoglio:
$r(t)=a-\abs((\abs((-1)^(q)-1))/(2)-r_{1})^(4)k$
dove:
$a=1,k=1,n=3$
$q=\floor{\frac{n*t/π}{a}}$
$r_{1}=\frac{n*t}{π} \mod a$
Trovare area e perimetro del trifoglio, la cui rappresentazione nel piano è:
Immagine ottenuta con geogebra.
Buon, divertimento. Non ho ancora tentato la risoluzione.
Risposte
Punto 1
Riscrivo la formula in modo meno generale ma più comodo per la mia risposta: vi sostituisco i valori dati, tolgo i valori assoluti superflui, cambio un nome, eccetera. Parto quindi da
$r(t)=1-((1-(-1)^q)/2-b)^4" "$ con $" "x=(3t)/pi;" " q=[x];" "b=x mod 1$
Punto 2
Dimostro che ci sono le simmetrie visibili in figura.
Punto 2a: dimostro la simmetria per rotazione di $(2pi)/3$
Infatti quando $t$ aumenta di quel valore, $x$ aumenta di 2 ed allora $b$ resta invariato, mentre $q$ aumenta di 2, lasciando invariata la frazione.
Punto 2b: dimostro le simmetrie assiali.
Per quanto detto al punto 2a, basta dimostrare che il tratto $0<=t<=pi/3$ è simmetrico rispetto al tratto $-pi/3<=t<=0$; indicherò con l'indice 1 i valori relativi a quest'ultimo tratto.
Nel primo tratto si ha $0<=x<=1$ e quindi $q=0;b=x$; la formula diventa
$r(t)=1-((1-1)/2-x)^4=1-x^4$
Nel secondo tratto ho $x_1=-x$ e quindi $q_1=-1;b_1=1-x$; la formula diventa
$r(t_1)=1-((1+1)/2-(1-x))^4=1-(1-1+x)^4=1-x^4=r(t)$
Punto 3
Qui deve esserci qualche errore, ma non riesco a vederlo: chiedo aiuto. EDIT: vedi la mia mail successiva..
Faccio i calcoli, notando che per le simmetrie indicate basta moltiplicare per 6 i risultati relativi al tratto $(0; pi/3)$.
Ho quindi
$"perimetro"=6 int_0^(pi/3) r(t)dt=6int_0^1 (1-x^4)*pi/3 dx=2pi[x-x^5/5]_0^1=2pi(1-1/5)=(8pi)/5 ~~5,03$
E qui casca l'asino! Infatti basta un'occhiata alla figura per dire che il risultato è più di 6. Per l'area avrei continuato con
$"area"=6int_0^(pi/3)1/2r^2(t)dt=6*1/2 int_0^1 (1-x^4)^2*pi/3dx=...$
Riscrivo la formula in modo meno generale ma più comodo per la mia risposta: vi sostituisco i valori dati, tolgo i valori assoluti superflui, cambio un nome, eccetera. Parto quindi da
$r(t)=1-((1-(-1)^q)/2-b)^4" "$ con $" "x=(3t)/pi;" " q=[x];" "b=x mod 1$
Punto 2
Dimostro che ci sono le simmetrie visibili in figura.
Punto 2a: dimostro la simmetria per rotazione di $(2pi)/3$
Infatti quando $t$ aumenta di quel valore, $x$ aumenta di 2 ed allora $b$ resta invariato, mentre $q$ aumenta di 2, lasciando invariata la frazione.
Punto 2b: dimostro le simmetrie assiali.
Per quanto detto al punto 2a, basta dimostrare che il tratto $0<=t<=pi/3$ è simmetrico rispetto al tratto $-pi/3<=t<=0$; indicherò con l'indice 1 i valori relativi a quest'ultimo tratto.
Nel primo tratto si ha $0<=x<=1$ e quindi $q=0;b=x$; la formula diventa
$r(t)=1-((1-1)/2-x)^4=1-x^4$
Nel secondo tratto ho $x_1=-x$ e quindi $q_1=-1;b_1=1-x$; la formula diventa
$r(t_1)=1-((1+1)/2-(1-x))^4=1-(1-1+x)^4=1-x^4=r(t)$
Punto 3
Qui deve esserci qualche errore, ma non riesco a vederlo: chiedo aiuto. EDIT: vedi la mia mail successiva..
Faccio i calcoli, notando che per le simmetrie indicate basta moltiplicare per 6 i risultati relativi al tratto $(0; pi/3)$.
Ho quindi
$"perimetro"=6 int_0^(pi/3) r(t)dt=6int_0^1 (1-x^4)*pi/3 dx=2pi[x-x^5/5]_0^1=2pi(1-1/5)=(8pi)/5 ~~5,03$
E qui casca l'asino! Infatti basta un'occhiata alla figura per dire che il risultato è più di 6. Per l'area avrei continuato con
$"area"=6int_0^(pi/3)1/2r^2(t)dt=6*1/2 int_0^1 (1-x^4)^2*pi/3dx=...$
Ho trovato l'errore: l'arco infinitesimo non è $ds=rdt$ ma $ds=sqrt(r^2+((dr)/(dt))^2)dt$. Direi però che l'integrazione in formula non è possibile.
Dovrebbe invece essere giusta l'indicazione data per l'area.
Dovrebbe invece essere giusta l'indicazione data per l'area.
Premetto che ho seguito il tuo stesso procedimento per la risoluzione di un problema assai simile postato in giochi. Puoi vedere qui i risultati:
viewtopic.php?f=12&t=186115
Poiché in quel caso sia il perimetro che l'area sono risultati pressoché esatti,almeno ad occhio, non credo di aver sbagliato, anche se non ho eseguito alcun controllo matematico.
Sono un po' preso...Grazie tante per la risposta.
viewtopic.php?f=12&t=186115
Poiché in quel caso sia il perimetro che l'area sono risultati pressoché esatti,almeno ad occhio, non credo di aver sbagliato, anche se non ho eseguito alcun controllo matematico.
Sono un po' preso...Grazie tante per la risposta.
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