Ammissione iuss 2012/2013
Ciao a tutti, potreste aiutarmi con questo? Individuare la classe di funzioni φ:R-->R tali che φ(x)<=x per ogni x reale e φ(x+y)<=φ(x)+φ(y) per ogni coppia x,y in R. Magari è anche piuttosto banale, ma non ho ben presente il concetto di classe di funzioni e non saprei come lavorarci. Grazie in anticipo
Risposte
Devi trovare tutte le funzioni che soddisfano quelle due proprietà.
Magari prova a capire per prima cosa che valore deve avere $f(0)$.
Magari prova a capire per prima cosa che valore deve avere $f(0)$.
Ad esempio tu come lo risolveresti?
Senza che faccio copia-incolla da entrambe le parti, ormai la metto qua 
Con $x=0$ e $y=0$ ottieni $f(0+0) \leq f(0)+f(0)$ da cui $f(0) \geq 0$
Per l'altra ipotesi hai però che $f(0) \leq 0$. Mettendo insieme le due cose $f(0)=0$.
Ora con $y=-x$ hai $f(x-x) \leq f(x)+f(-x)$ Ovvero $f(x)+f(-x) \geq 0$
Siccome $f(x)\leq x$ e $f(-x) \leq -x$ Al primo membro ottieni $x-x \geq f(x)+f(-x) \geq 0$ da cui $f(x)+f(-x)=0$.
Ovvero $f(x) = -f(-x)$. Ora però $f(x) \leq x$. Quindi $-f(-x) \leq x$. Da cui $f(-x) \geq -x$. Eppure $f(-x) \leq -x$ per l'altra ipotesi. Quindi vale $f(-x)=-x$ e $f(x)=x$. L'unica funzione valida è quindi la retta $x=y$ in pratica.
Con $x=0$ e $y=0$ ottieni $f(0+0) \leq f(0)+f(0)$ da cui $f(0) \geq 0$
Per l'altra ipotesi hai però che $f(0) \leq 0$. Mettendo insieme le due cose $f(0)=0$.
Ora con $y=-x$ hai $f(x-x) \leq f(x)+f(-x)$ Ovvero $f(x)+f(-x) \geq 0$
Siccome $f(x)\leq x$ e $f(-x) \leq -x$ Al primo membro ottieni $x-x \geq f(x)+f(-x) \geq 0$ da cui $f(x)+f(-x)=0$.
Ovvero $f(x) = -f(-x)$. Ora però $f(x) \leq x$. Quindi $-f(-x) \leq x$. Da cui $f(-x) \geq -x$. Eppure $f(-x) \leq -x$ per l'altra ipotesi. Quindi vale $f(-x)=-x$ e $f(x)=x$. L'unica funzione valida è quindi la retta $x=y$ in pratica.
Grazie mille!
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