Altre progressioni

[giammaria2]

Per la gioia di Luca e compagni propongo altri due esercizi (facilissimo il primo, un po' meno il secondo) sulle progressioni aritmetiche. Qui è già stato spiegato cosa sono; aggiungo che, detta $r$ la ragione, si ha $a_2=a_1+r,\ a_3=a_1+2r, \ a_4=a_1+3r, "eccetera"$ e quindi in generale $a_k=a_1+(k-1)r$

Primo esercizio
In una progressione aritmetica di numeri interi ogni $a_k$ è divisibile per $k$ (cioè $a_2$ lo è per 2, $a_3$ lo è per 3, eccetera), fino all'infinito. E' possibile? Se sì, in quali modi?

Secondo esercizio
In una progressione aritmetica di numeri interi ogni $a_k$ è divisibile per $k$, ma solo fino a $k=n-1$, mentre $a_n$ non è divisibile per $n$ (nulla si sa sui termini successivi). E' possibile? Se sì, in quali casi?

[Andrea571]

"giammaria":Primo esercizio
In una progressione aritmetica di numeri interi ogni $a_k$ è divisibile per $k$ (cioè $a_2$ lo è per 2, $a_3$ lo è per 3, eccetera), fino all'infinito. E' possibile? Se sì, in quali modi?

Forse mi stò sbagliando, ma io prenderei la più semplice delle progressioni:

$1,2,3,4,5,6,7,...$

Per esempio:

$5=1+(5-1)*1$
$6=1+(6-1)*1$

ed infatti:

$5=a_5 -> 5/5=1$
$6=a_6 -> 6/6=1$

"giammaria":Secondo esercizio
In una progressione aritmetica di numeri interi ogni $a_k$ è divisibile per $k$, ma solo fino a $k=n-1$, mentre $a_n$ non è divisibile per $n$ (nulla si sa sui termini successivi). E' possibile? Se sì, in quali casi?

Per la seconda, farei una progressione di ragione $-1$:

$5,4,3,2,1,......$

In questo caso, quindi:

$5=a_1 -> 5/1=5$
$4=a_2 -> 4/2=2$
$3=a_3 -> 3/3=1$

Ma arrivando a $k=4$

$2=a_4 -> 2/4=1/2$

Infatti, la progressione vale fino a $k=4-1$, mentre già con $k=4$ non vale più.

[milizia96]

Credo che Giammaria chiedesse qualcosa di più generale, non solo dei casi particolari.
Comunque secondo me le soluzioni sono: (spoilero per non togliere a nessuno il gusto di risolverli)

esercizio 1) è necessario e sufficiente porre a_1=r
esercizio 2) è possibile se e solo se n è un numero primo
Li ho fatti piuttosto velocemente ma spero siano giusti

[Zero87]

Per l'1 ho la stessa risposta di milizia96, mentre per il 2 penso a quello che spoilerizzo.

Ponendo $a_1=(n-1)!+1$ e $r=1$, abbiamo
$a_2=(n-1)!+2$ che è divisibile per $2$
$a_3=(n-1)!+3$ che è divisibile per $3$
...
$a_(n-1)=(n-1)!+(n-1)$ che è divisibile per $n-1$
$a_n=(n-1)!+n$ che non è detto sia divisibile per $n$, almeno per $n$ primo non lo è di certo.

[giammaria2]

Effettivamente chiedevo una risposta generale e non solo un caso particolare; se però Andrea57 è alle prime armi con problemi di questo tipo, è apprezzabile anche la sua risposta parziale.
La soluzione di milizia96 non è del tutto completa perché al secondo problema si può dare una risposta più ampia (confesso che al primo colpo neanche io l'avevo vista); mi fa piacere che non abbia scritto il suo ragionamento, lasciando così il campo libero agli altri che vogliono cimentarsi.
Quella di Zero87 è ancora troppo incompleta per poter dire qualcosa.

[milizia96]

Caspita è vero mi era sfuggito qualcosa:

esercizio 2) è possibile se e solo se n è un numero primo o una potenza di un numero primo

Spero ora di avere considerato tutto.
Come ha detto giammaria, non metto le dimostrazioni così lascio il campo libero a qualcun altro.

[giammaria2]

Ora la tua risposta coincide con la mia.

[Andrea571]

"giammaria":Effettivamente chiedevo una risposta generale e non solo un caso particolare;

Ti ringrazio per avermelo detto