Algebra

[giulylanza06]

Consideriamo la successione definita da $x_1$=1 e $x_(n+1)=1+ \prod_{k=1}^n x_k$
Dimostrare che $\sum_{k=1}^n 1/x_k<1$

[Pachisi]

Ma $x_1=1$ e i termini sono tutti positivi, quindi la tua somma sara` maggiore di 1.

[giulylanza06]

Ho fatto un errore di copiatura, scusate $x_1=2$. Questo ovviamente cambia tutto, chiedo scusa

[Vincent46]

Basta verificare che, detta ${a_n}$ la serie in oggetto e ${b_n}$ la serie geometrica di termine generico $1/2^n$ con $n$ che parte da $1$, si ha che la quarta somma parziale di ${a_n}$ è minore della quarta somma parziale di ${b_n}$. Del resto, per $n \geq 5$, senz'altro il termine $n$-esimo di ${a_n}$ è minore di $1/2^n$, dunque il limite delle somme parziali è minore di quello della serie ${b_n}$, che è $1$.

[dan952]

Dalla definizione si deduce che $x_{n+1} \geq 1+2^n$ (l'uguaglianza vale se e solo se $n=0$) da cui $\frac{1}{x_{n+1}} \leq \frac{1}{1+2^n}$, quindi:
$$\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{x_{k}}<\sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{1+2^{k}}<\int_{0}^{m-1}\frac{1}{1+2^x}dx=1-\frac{\ln(1+2^{-m+1})}{\ln(2)} <1$$
per ogni $m>1$ (credo...).