Algebra

[giulylanza06]

Diciamo che una successione $a_n$ , con n ≥ 0 intero, è polinomiale se esiste un polinomio p(x) tale che $a_n$ = p(n) per ogni n ≥ 0 intero. Dire (dimostrando le affermazioni) se le seguenti successioni sono polinomiali:
1. $a_n=2^n$ ;
2. $a_n=[(n^3+n+1)/3]$

[Erasmus_First]

"gl630":Diciamo che una successione $a_n$ , con n ≥ 0 intero, è polinomiale se esiste un polinomio p(x) tale che $a_n$ = p(n) per ogni n ≥ 0 intero. Dire (dimostrando le affermazioni) se le seguenti successioni sono polinomiali:
1. $a_n=2^n$ ;
2. $a_n=[(n^3+n+1)/3]$

Ma che razza di quiz è?
Si chiedono risposte "LAPALISSIANE"!
Ovvio che $2^n$, come funzione di $n$, non è polinomiale (bensì esponenziale).
Ovvio anche che invece $(n^3 + n + 1)/3$ è proprio un polinomio in n.
E allora?
'Ndo' sta il "busillis" ?
________

[Erasmus_First]

Supponiamo che ${a_n}$ sia la successione così definita (per ricorrenza):
$a_0=3$; $a_1 = 1$; $a_2 = 2$;
$∀n ∈ NN$ $a_(n+3) = 3a_(n+2) - 3a_(n+1) + a_n$.
Allora i primi termni della successione ${a_n}$ sono:
3, 1, 2, 6, 13, 23, ...
Questa successione è polinomiale?
Se sì, di che grado è 'sto polinomio?
Se sì, scrivere esplicitamente 'sto polinomio: $a_n = p(n)$ dove $p(n) ...$ ?
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[orsoulx]

"Erasmus_First":'Ndo' sta il "busillis" ?

Credo nelle parentesi quadre che racchiudono il trinomio. Sono quesiti da olimpiadi di matematica e, probabilmente, nell'introduzione veniva spiegato il loro significato: suppongo 'parte intera'. Ed allora la risposta cambia.
Anche per $ e^n $ gli estensori non si sarebbero accontentati della risposta, corretta ed incollerita , che fornisci.

Per quello che proponi tu:

$ 3/2 n^2-7/2 n+3 $

Ciao
B.

[Sk_Anonymous]

"gl630":Diciamo che una successione $a_n$ , con n ≥ 0 intero, è polinomiale se esiste un polinomio p(x) tale che $a_n$ = p(n) per ogni n ≥ 0 intero. Dire (dimostrando le affermazioni) se le seguenti successioni sono polinomiali:
1. $a_n=2^n$ ;
2. $a_n=[(n^3+n+1)/3]$

Stesse curiosità del problema geometrico: grado di difficoltà, fonte e una aggiuntiva: tu conosci una o più soluzioni del n. 2?

Ho un'idea di come fare per il n. 2, ma potrebbe servirmi qualche "appoggio".

[giulylanza06]

"sprmnt21":[quote="gl630"]Diciamo che una successione $a_n$ , con n ≥ 0 intero, è polinomiale se esiste un polinomio p(x) tale che $a_n$ = p(n) per ogni n ≥ 0 intero. Dire (dimostrando le affermazioni) se le seguenti successioni sono polinomiali:
1. $a_n=2^n$ ;
2. $a_n=[(n^3+n+1)/3]$

Stesse curiosità del problema geometrico: grado di difficoltà, fonte e una aggiuntiva: tu conosci una o più soluzioni del n. 2?

Ho un'idea di come fare per il n. 2, ma potrebbe servirmi qualche "appoggio".[/quote]
Complimenti per la risoluzione di geometria,il problema mi era stato valutato molto difficile da ex vincitori imo.
La difficoltà è media, ne ho proposti quattro, in ordine di difficoltà dal più facile sarebbero combinatoria, teoria dei numeri, algebra cioè questo e geometria. Di geometria sapevo la dimostrazione, ma di questo no, anche se qualche vaga idea non mi manca.

[Erasmus_First]

"orsoulx":[quote="Erasmus_First"]'Ndo' sta il "busillis" ?

Credo nelle parentesi quadre che racchiudono il trinomio. Sono quesiti da olimpiadi di matematica e, probabilmente, nell'introduzione veniva spiegato il loro significato: suppongo 'parte intera'. Ed allora la risposta cambia.B.[/quote]Se la parentesi quadra sta a significare "parte intera di" ancora OVVIAMENTE
$[(n^3 + n + 1)/3]$
NON è polinomiale.
Giurerei sul fatto che "parte intera di p(n)" , con p(n) polinomio in n, è polinomiale se e solo se coincide con p(n), ossia se p(n) è intero per ogni n intero.
Qui occorrerebbe che il numeratore fosse divisibile per 3 per ogni n naturale. Ma non è il caso di $n^3 + n + 1$.
[Lo sarebbe, per esempio, per numeratore $n^3 + 6n^2 + 11n = (n+1)(n+2)(n+3)-6$].
Ma ... è davvero (fedelmente) il testo di un esercizio delle "Olimpiadi di Matematica"?
Spero di no, perché a questo testo si possono ben "fare le pulci"!
• «Diciamo che una successione $a_n$, con $n ≥ 0$ intero, ...» .
A parte il fatto che, ad essere pignoli, con $a_n$ di solito si intende il termine "corrente" della successione ${a_n}$ (come ci insegnava G. Scorza a Padova nell'anno accademico 1955-56), precisare che n è "intero" andrebbe bene se ci fossero successioni con indice n non intero.
• « [...] se esiste un polinomio $p(x)$ tale che $a_n = p(n)$ per ogni n ≥ 0 intero.[...]». E daje! Ammesso pure che ci siano "successioni $a_n$ con $n ≥ 0$ NON (sempre) intero", che adesso stiamo parlando SOLO di quelle con "n ≥ 0 INTERO” è stato appena detto! O no?
• Dire (dimostrando le affermazioni)...». Una affermazione potrebbe essere il richiamo (o l'accenno) di una definizione ... senza aver nulla da dimostrare. Per esempio, affermo che: «nella funzione "potenza" l'esponente è costante e la variabile indipendente è la "base"; viceversa nella funzione "esponenziale" (la "base" è costante e la variabile indipendente è l'"esponente")». E non c'è niente da dimostrare in proposito.
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[Sk_Anonymous]

"Erasmus_First":
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• Dire (dimostrando le affermazioni)...». Una affermazione potrebbe essere il richiamo (o l'accenno) di una definizione ... senza aver nulla da dimostrare. Per esempio, affermo che: «nella funzione "potenza" l'esponente è costante e la variabile indipendente è la "base"; viceversa nella funzione "esponenziale" (la "base" è costante e la variabile indipendente è l'"esponente")». E non c'è niente da dimostrare in proposito.
...

tanto per partecipare all'esegesi del testo proposto da gl630, io ritengo che la richiesta in blu (secondo me pleonastica, ma probabilmente resa necessaria dalla presenza con frequenza non trascurabile di affermazioni non dimostrate nei vari "quiz"[nota]a tal riguardo confesso la mia meraviglia nell'uso frequente di questo inglesismo da parte di un convinto avversatore della lingua della perfida Albione[/nota]) di provare le proprie affermazioni si riferisse ad affermazioni che affermano qualcosa, non certamente ad affermazioni che siano delle "semplici" tautologie (anche se dal punto di vista formale tutte le "affermazioni dimostrabili" sono tautologie, magari "non semplici").

[Erasmus_First]

"sprmnt21":Note
1 a tal riguardo confesso la mia meraviglia nell'uso frequente di questo inglesismo da parte di un convinto avversatore della lingua della perfida Albione

??
1) 'Ndo' sta l'inglesismo?
2) "Cu fu" che ne fece 'uso frequente' ?
3) "Cu fu" l'avversatore dell'inglese?
4) "Cu disse" Albione essere perfida?

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[giulylanza06]

Fedelissimo testo di un quesito proposto nelle olimpiadi di matematica.

[orsoulx]

"gl630":Fedelissimo testo di un quesito proposto nelle olimpiadi di matematica.

Piccolo, ma non per questo poco significante, particolare: nelle gare di matematica i fogli con i quesiti sono preceduti (e coperti per impedirne la lettura anticipata) da un foglio in cui vengono, anche, indicati i valori da utilizzare per approssimare i numeri irrazionali utilizzabili nello svolgimento. e specificato, in dettaglio, il significato da attribuire a quei simboli che potessero essere ambiguamente interpretati. Un quesito orfano di queste indicazioni potrebbe prestarsi a diverse interpretazioni.
Ciao
B.

[giulylanza06]

Piccolo aiuto nella dimostrazione?

[orsoulx]

Pensavo fosse tutto risolto.
Negli interventi di Erasmus, eliminate le invettive e le lamentazioni, di suggerimenti ne trovi molteplici. Ove non fossero sufficienti chiedi ancora. Sicuramente non sono successioni polinomiali.
Ciao
B.

[Sk_Anonymous]

"gl630":Piccolo aiuto nella dimostrazione?

Per il primo dei due quesiti, potrebbe essere sufficiente provare che$2^n$ per n abbastanza grande è maggiore del valore assunto da qualsiasi polinomio di grado finito.

Per il secondo quesito, una successione di suggerimenti (ho provato a farli innestati, ma sembra non essere possibile)
Hint 1:

dal teorema di Ruffini: Un polinomio di grado k ha al più k radici.

Hint 2:

La successione data per gli interi del tipo $n=3m+1$ è uguale al polinomio $q(n)=(n^3+n+1)/3$

Hint 3:

Sia $p(x)$ un polinomio di grado $k$ che assuma i valori di ${a_n}$ per $x \in NN$.
In particolare si avrà che:

$p(3m+1)=a_{3m+1}=q(3m+1), \forall m\in NN$

Questo comporta che il polinomio $p(x)-q(x)$ che è di grado $h=max{3,k}$ abbia più di h radici, ma questo se $p(x)$ non coincide con $q(x)$ non è possibile.

Ma se $p(x)$ fosse uguale a $q(x)$ allora per gli $n \ne 3m+1$ non potrebbe essere uguale ad $a_n$...