Alcuni giochini matematici

[Zero87]

Stavo ripensando a quando ho partecipato per la prima volta alle provinciali dei giochi di Archimede nel 2001...
Perciò volevo tornare indietro nel tempo e ho trovato i testi sul sito delle olimpiadi (dove c'è anche l'oliforum!).

Propongo 2 giochini per il biennio e 2 per il triennio... Buon divertimento a chiunque voglia cimentarsi (non vi metto le soluzioni possibili a scelta).

Biennio 6.
Archimede è nato nell'anno $x$ avanti Cristo. Sapendo che $a = b$, $c = \frac{b}{3}$, $b=e$, $d=49$, $e=a$, $a=2001$, $x=c-380$, quando è nato Archimede?

Hint: all'epoca ho fatto tutto il sistema , ma pensandoci meglio una metà delle equazioni se ne va come niente!
Commento: chi ha pensato all'esercizio non era molto sano di mente se vedete bene il testo, della serie "come complicare in modo assurdo qualcosa". Ah, dimenticavo, ovviamente non vale usare wikipedia...

Biennio 16)
Quante cifre ha in base 2 il numero 2001?

Hint: ovviamente quando l'ho fatto io, ho fatto tutta la procedura per trasformare 2001 in base 2 (all'epoca non si potevano usare calcolatrici programmabili, ma solo semplici, chissà se è ancora così)...
Tornando al liceo, in autobus ho trovato un metodo più rapido.

Triennio 8)
Un dado perfettamente equilibrato viene lanciato 3 volte. Qual è la probabilità che né il punteggio del primo lancio, né la somma dei punteggi del primo e del secondo lancio, né la somma dei punteggi dei primi tre lanci sia divisibile per 7?

Commento: ammetto la mia ignoranza, ma fino all'università non sarei mai stato in grado di risolverlo...!

Triennio 21)
Un numero viene prima raddoppiato e poi diminuito di un’unità. Applicando questo procedimento 2000 volte di seguito si perviene al risultato $2^2001 +1$. Qual è il numero di partenza?

Buon divertimento

EDIT.
Mi ero completamente scordato della presenza di una sezione chiamata "giochi matematici" nel forum e come un fesso ho postato qui... Beh, posso dire che questi sono problemi da scervellamento per gli studenti della secondaria delle superiori quindi può restare qui, a meno che non arrivi un moderatore gentile che sposti questo messaggio...
In entrambi i casi, aspetto.

[Stellinelm]

Troppo facile per me ...passo

[Zero87]

"Stellinelm":Troppo facile per me ...passo

Non capisco " "...

Comunque, oltre al fatto che puoi spoilerizzare un'eventuale risposta, ho comunque postato 2 del biennio e 2 del triennio (siamo pur sempre ad una sezione dedicata alla secondaria di secondo grado!): ovvio che quelli del biennio potrebbero sembrare cavolate per studenti al livello di triennio/università.

[Pianoth]

Uhm, dando una rapida occhiata al primo, mi sa che hai sbagliato a scrivere la traccia, mi sembra troppo facile...

$b = e = a = 2001$, quindi $c = 2001/3 = 667$ e quindi $x = 667 - 380 = 287 a.C$

Provo a fare anche l'ultimo, così a caso:

Un numero $x$ viene raddoppiato e poi diminuito di un unità ($2x - 1$). Questo processo viene ripetuto per 2000 volte. Osservando le prime volte che viene attuato questo procedimento si nota facilmente:
$x => 2x - 1 => 4x - 3 => 8x - 7 => 16x - 15 => \ldots => 2^n x - (2^n - 1)$
Ora questo processo viene ripetuto per 2000 volte, ovvero $n = 2000$, e il risultato di tale lungo procedimento è $2^(2001) + 1$:
$2^2000x - 2^2000 + 1 = 2^2001 + 1$
$x = (2^2001+2^2000)/2^2000 = 2 + 1 = 3$

[Stellinelm]

"Zero87":[quote="Stellinelm"]Troppo facile per me ...passo

Non capisco " "...

Comunque, oltre al fatto che puoi spoilerizzare un'eventuale risposta, ho comunque postato 2 del biennio e 2 del triennio (siamo pur sempre ad una sezione dedicata alla secondaria di secondo grado!): ovvio che quelli del biennio potrebbero sembrare cavolate per studenti al livello di triennio/università. [/quote]

Scherzavo ... , sullo stile "quando la volpe non arriva all'uva dice che è acerba" ;
ergo non sapendoli svolgere dico che non li faccio perchè troppi facili

[Zero87]

"Pianoth":Uhm, dando una rapida occhiata al primo, mi sa che hai sbagliato a scrivere la traccia, mi sembra troppo facile...

Sono entrambi ok: per il primo la traccia è giusta e quando facevo il primo superiore l'ho trovato molto difficile...

solo dopo ho capito che servivano solo 2-3 equazioni di tutte quelle oltre che è veramente facile

Però li ho messi in ordine di difficoltà (secondo me) .

Per l'ultimo c'è anche un'altra soluzione (quasi uguale alla tua ma... al contrario) che è quella che avevo trovato anche io in passato. Ovviamente oggi quando li ho postati ho anche scaricato il foglio delle risposte e ho visto che sia la tua che la mia soluzione sono contemplate.

@Stellinelm
Non avevo capito . Comunque si può sempre provare a risolvere un es prima di abbattersi: è quello che faccio io ogni volta che vedo un nuovo esercizio su "pensare un po' di più".