A proposito del teorema di Fermat
Pierre de Fermat fu un grande matematico francese vissuto nel XVII secolo.
Come tutti sanno è famoso specialmente per un suo teorema che afferma che dati tre numeri $a$, $b$ e $c$, l'equazione $a^n+b^n=c^n$ non ammette soluzioni intere per valori di $n$ maggiori di $2$.
Passo a proporvi un quesito che ha con esso una certa affinità e che è in grado di ingannare anche persone di una certa competenza, che affermerebbero che il teorema di Fermat sia risolto.
Disegnate un triangolo rettangolo e indicate i cateti con le lettere $a$ (cateto minore) e $b$ (cateto maggiore): l'ipotenusa $c$ corrisponde a $c=sqrt(a^2+b^2)$.
L'ipotenusa, elevata ad $n$, può essere trasformata come segue:
$c^n=(sqrt(a^2+b^2))^n=(a^2+b^2)^(n/2)$
Sviluppando la potenza del binomio si ha:
$c^n=(a^2)^(n/2)+.......+(b^2)^(n/2)$
dove i termini corrispondenti ai puntini possono essere determinati con il triangolo di Tartaglia, ma in ogni caso sono tutti termini positivi non nulli. Cioè, semplificando:
$c^n=a^n+.......+b^n$
Trascurando i termini corrispondenti ai puntini si ha la disuguaglianza:
$c^n>=a^n+b^n$
Il primo membro risulta uguale al secondo solo per $n=2$, per ogni valore di $n$ intero e maggiore di $2$ i due membri hanno sempre valori differenti.
Cosa ne pensate?
Come tutti sanno è famoso specialmente per un suo teorema che afferma che dati tre numeri $a$, $b$ e $c$, l'equazione $a^n+b^n=c^n$ non ammette soluzioni intere per valori di $n$ maggiori di $2$.
Passo a proporvi un quesito che ha con esso una certa affinità e che è in grado di ingannare anche persone di una certa competenza, che affermerebbero che il teorema di Fermat sia risolto.
Disegnate un triangolo rettangolo e indicate i cateti con le lettere $a$ (cateto minore) e $b$ (cateto maggiore): l'ipotenusa $c$ corrisponde a $c=sqrt(a^2+b^2)$.
L'ipotenusa, elevata ad $n$, può essere trasformata come segue:
$c^n=(sqrt(a^2+b^2))^n=(a^2+b^2)^(n/2)$
Sviluppando la potenza del binomio si ha:
$c^n=(a^2)^(n/2)+.......+(b^2)^(n/2)$
dove i termini corrispondenti ai puntini possono essere determinati con il triangolo di Tartaglia, ma in ogni caso sono tutti termini positivi non nulli. Cioè, semplificando:
$c^n=a^n+.......+b^n$
Trascurando i termini corrispondenti ai puntini si ha la disuguaglianza:
$c^n>=a^n+b^n$
Il primo membro risulta uguale al secondo solo per $n=2$, per ogni valore di $n$ intero e maggiore di $2$ i due membri hanno sempre valori differenti.
Cosa ne pensate?
Risposte
"Luca":
Purtroppo a tutt'oggi nessuno è riuscito a dimostrare il teorema, ma il bello è che nessuno è riuscito neanche a dimostrare che tale teorema è falso.
A me risulta che sia stato dimostrato nel 1994 da Andrew Wiles: http://it.wikipedia.org/wiki/Ultimo_teorema_di_Fermat
Per quanto riguarda questa pseudo-dimostrazione, prova che:
se $c^2 = a^2 + b^2$ allora $c^n > a^n + b^n$ per $n>2$
Ci tengo a dire che, ovviamente, la dimostrazione non è mia e nemmeno ciò che ho scritto prima, l'ho presa da un libro di Carlo Sintini (che ha lavorato per matematicamente.it ed è deceduto poco tempo fa). Mi sembra comunque strano che, un professore come lui, abbia potuto commettere un così grande errore cognoscitivo. Bisognerebbe analizzare meglio la situazione.
Per quanto riguarda la dimostrazione, quel concetto l'avevo provato numericamente, ora provo a metterlo giù a livello generale.
Per quanto riguarda la dimostrazione, quel concetto l'avevo provato numericamente, ora provo a metterlo giù a livello generale.
"robbstark":
Per quanto riguarda questa pseudo-dimostrazione, prova che:
se $c^2 = a^2 + b^2$ allora $c^n > a^n + b^n$ per $n>2$
ma se $c^2 = a^2 + b^2$ allora $c^n > a^n + b^n$ per $n>2$ , ciò non vuol dire che $c^n = a^n + b^n$ per $n>2$ non può esistere e che dunque Wiles dimostra effettivamente l'Utf ?
"Luca97":
ma se $c^2 = a^2 + b^2$ allora $c^n > a^n + b^n$ per $n>2$ ,
ciò non vuol dire che $c^n = a^n + b^n$ per $n>2$ non può esistere e che dunque Wiles dimostra effettivamente l'Utf ?
Come già detto da robbstark, c'è solo scritto che se \((a,b,c)\) è una terna pitagorica, allora \(c^n > a^n + b^n\) per ogni \(n > 2\). Adesso rimane solo da verificare che la medesima disuguaglianza (o quella opposta) vale anche per tutte le altre terne.
Ok Rigel. Grazie e buona domenica.
[ot]Lo sapevi che il tuo nick è anche il nome di una stella abbastanza nota. Vedi http://digilander.libero.it/andromedda/ ... 0Rigel.htm[/ot]
[ot]Lo sapevi che il tuo nick è anche il nome di una stella abbastanza nota. Vedi http://digilander.libero.it/andromedda/ ... 0Rigel.htm[/ot]
Vorrei fare qualche considerazione anch'io.
Circa la dimostrazione di Carlo Sintini, almeno nella forma riportata da quel distrattone (!) di Luca ($ne$ Luca97,credo
), mi chiedevo se fosse possibile applicare lo sviluppo del binomio di Newton al binomio $(a^2+b^2)^{n/2}$ quando n fosse dispari.
Per provare allora l'implicazione $c^2=a^2+b^2->c^n>a^n+b^n$ con $a,b,c>0, n>2$ , faccio le seguenti considerazioni.
(A) Da $c^2=a^2+b^2$ risulta $c>a,c>b$
Inoltre si ha:
$c^n=c^{n-2}\cdot c^2=c^{n-2}\cdot (a^2+b^2)=c^{n-2}\cdot a^2+c^{n-2}\cdot b^2$
Quindi:
$c^n-a^n-b^n=c^{n-2}\cdot a^2+c^{n-2}\cdot b^2-a^n-b^n$
Ovvero:
(B) $c^n-a^n-b^n=a^2(c^{n-2}-a^{n-2))+b^2(c^{n-2}-b^{n-2})$
Per le (A) i termini a secondo membro della (B) sono tutti positivi e dunque:
$c^n-a^n-b^n>0 $ da cui $c^n>a^n+b^n$
C.V.D.
Circa la dimostrazione di Carlo Sintini, almeno nella forma riportata da quel distrattone (!) di Luca ($ne$ Luca97,credo
), mi chiedevo se fosse possibile applicare lo sviluppo del binomio di Newton al binomio $(a^2+b^2)^{n/2}$ quando n fosse dispari.Per provare allora l'implicazione $c^2=a^2+b^2->c^n>a^n+b^n$ con $a,b,c>0, n>2$ , faccio le seguenti considerazioni.
(A) Da $c^2=a^2+b^2$ risulta $c>a,c>b$
Inoltre si ha:
$c^n=c^{n-2}\cdot c^2=c^{n-2}\cdot (a^2+b^2)=c^{n-2}\cdot a^2+c^{n-2}\cdot b^2$
Quindi:
$c^n-a^n-b^n=c^{n-2}\cdot a^2+c^{n-2}\cdot b^2-a^n-b^n$
Ovvero:
(B) $c^n-a^n-b^n=a^2(c^{n-2}-a^{n-2))+b^2(c^{n-2}-b^{n-2})$
Per le (A) i termini a secondo membro della (B) sono tutti positivi e dunque:
$c^n-a^n-b^n>0 $ da cui $c^n>a^n+b^n$
C.V.D.
"ciromario":
di Luca ($ne$ Luca97,credo
"ciromario":
di Luca ($ne$ Luca97,credo
Forse non hai letto bene, ma il distratto è stato proprio Carlo Sintini: scaricati il suo libro di giochi matematici e vedrai!
@Luca ( $ne Luca97$)
Il "distrattone " è riferito non al prof Sintini ( ovviamente ..) ma a tutti gli errori di cui tu ha invariabilmente riempito i post in cui ci siamo incontrati !
Il "distrattone " è riferito non al prof Sintini ( ovviamente ..) ma a tutti gli errori di cui tu ha invariabilmente riempito i post in cui ci siamo incontrati !
Cancello e riformulo il messaggio.
Aggiornamento di oggi: ho letto sul mio libro di testo le seguenti parole:
Oggi si discute ancora se Fermat abbia veramente dimostrato il teorema che porta il suo nome. L'opinione prevalente è che egli avesse formulato una dimostrazione non corretta e che per questo motivo, accortosi dell'errore, non l'abbia pubblicata. Ma c'è ancora chi cerca una dimostrazione semplice del suo teorema: una dimostrazione di poche righe, al massimo un paio di pagine, comprensibile anche da uno studente di liceo.
Aggiornamento di oggi: ho letto sul mio libro di testo le seguenti parole:
Oggi si discute ancora se Fermat abbia veramente dimostrato il teorema che porta il suo nome. L'opinione prevalente è che egli avesse formulato una dimostrazione non corretta e che per questo motivo, accortosi dell'errore, non l'abbia pubblicata. Ma c'è ancora chi cerca una dimostrazione semplice del suo teorema: una dimostrazione di poche righe, al massimo un paio di pagine, comprensibile anche da uno studente di liceo.
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